Årskurs 7

Reella tal och deras egenskaper. Tal i potensform och grundpotensform. Matematiska lagar och regler vid beräkningar.

• •Reella tal: Naturliga $\mathbb{N}$, heltal $\mathbb{Z}$, rationella $\mathbb{Q}$, irrationella, reella $\mathbb{R}$
• •Talsystemets utveckling: $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$
• •Irrationella tal: $\sqrt{2}\approx 1,\mathrm{414...}$, $\pi \approx 3,\mathrm{14159...}$
• •Potenser: $a^n=\underset{n\text{ faktorer}}{\underbrace{a\cdot a\cdot ...\cdot a}}$
• •Potensregler: $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$, t.ex. $2^3\cdot 2^4=2^7=128$
• •Potensregler: $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, t.ex. $\frac{5^6}{5^4}=5^2=25$
• •Potensregler: $(a^m{)}^n=a^{m\cdot n}$, t.ex. $(2^3{)}^2=2^6=64$
• •Negativ exponent: $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, t.ex. $2^{-3}=\frac{1}{8}$
• •Nollexponent: $a^0=1$ för alla $a\ne 0$
• •Grundpotensform: $3450000=3,45\times 10^6$
• •Grundpotensform små tal: $0,00042=4,2\times 10^{-4}$
• •Prefix: kilo (k) $=10^3$, mega (M) $=10^6$, giga (G) $=10^9$
• •Prefix: milli (m) $=10^{-3}$, mikro ($\mu$) $=10^{-6}$, nano (n) $=10^{-9}$
• •Kvadratrot: $\sqrt{81}=9$, $\sqrt{2}\approx 1,41$, $\sqrt{a^2}=|a|$
• •Kubikrot: $\sqrt[3]{27}=3$, $\sqrt[3]{-8}=-2$
• •Beräkning med rötter: $\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}$
• •Prioriteringsregler: Parentes → Potens → Multiplikation/Division → Addition/Subtraktion
• •Överslagsräkning: $4,87\times 21,3\approx 5\times 20=100$

Variabler i uttryck, formler och ekvationer. Linjära ekvationer och olikheter. Mönster och programmering. Tips: Avsätt 'Algebratisdagar' med 50 minuter fokuserad träning!

• • VECKA 1-6: Algebraiska uttryck
• •Termer och faktorer: I $3x^2+5x-7$ finns 3 termer
• •Koefficient: I termen $5x$ är $5$ koefficienten
• •Förenkla: $4x+3y-2x+5y=2x+8y$
• •Multiplicera parentes: $3(2x-4)=6x-12$
• •Dubbel parentes: $(x+2)(x+3)=x^2+5x+6$
• •Kvadreringsregler: $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$
• •Kvadreringsregler: $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$
• •Konjugatregeln: $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
• • VECKA 7-14: Linjära ekvationer
• •Ekvation: $3x-7=2x+5\Rightarrow x=12$
• •Ekvation med bråk: $\frac{x-2}{3}=4\Rightarrow x-2=12\Rightarrow x=14$
• •Ekvation med parentes: $4(x-3)=2(x+5)\Rightarrow 4x-12=2x+10\Rightarrow x=11$
• •Multiplikation av ekvation: $\frac{x}{4}=3\Rightarrow x=12$
• •Ekvation med $x$ på båda sidor: $5x-3=3x+7\Rightarrow 2x=10\Rightarrow x=5$
• • VECKA 15-22: Olikheter
• •Olikhet: $2x+3<11\Rightarrow 2x<8\Rightarrow x<4$
• •Olikhetstecken: $<$ (mindre än), $>$ (större än), $\le$, $\ge$
• •OBS! Multiplicera med negativt: $-2x>6\Rightarrow x<-3$ (vänd tecknet!)
• •Dubbel olikhet: $-3<2x+1\le 7\Rightarrow -2<x\le 3$
• •Graf på tallinje: $x\ge 2$ visas med fylld cirkel vid 2, pil åt höger
• • VECKA 23-30: Formler och funktioner
• •Formel för area: $A=\pi r^2$. Om $A=50$, lös ut $r$: $r=\sqrt{\frac{50}{\pi }}\approx 4,0$
• •Formel för hastighet: $v=\frac{s}{t}$, lös ut $t$: $t=\frac{s}{v}$
• •Funktionsbegreppet: $f(x)=2x+3$ → $f(4)=2(4)+3=11$
• •Funktionstabell: $x$: -1, 0, 1, 2 | $f(x)$: 1, 3, 5, 7
• • VECKA 31-38: Mönster och talföljder
• •Aritmetisk följd: $a_n=a_1+(n-1)d$
• •Geometrisk följd: $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$
• •Hitta formel: 4, 7, 10, 13... → $a_n=3n+1$
• •Summera aritmetisk: $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$
• • VECKA 39-40: Programmering
• •Python/Scratch: Variabler, loopar, villkor
• •Algoritm för ekvationslösning: Gissning och förbättring
• • TIPS: Träna på att lösa minst 5 ekvationer varje algebravecka!

Geometriska objekt och deras egenskaper. Beräkning av area, omkrets och volym. Pythagoras sats. Skala, likformighet och kongruens.

• •Pythagoras sats: $a^2+b^2=c^2$ (i rätvinklig triangel)
• •Pythagoras exempel: Kateter 6 och 8 → $c=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$
• •Pythagoras baklänges: $c=13$, $a=5$ → $b=\sqrt{169-25}=12$
• •Kontrollera rätvinklig: Är $7,24,25$ en rätvinklig triangel? $49+576=625=25^2$
• •Cirkelns omkrets: $O=2\pi r=\pi d$
• •Cirkelns area: $A=\pi r^2$
• •Cirkelsektor area: $A=\frac{v}{360°}\cdot \pi r^2$ där $v$ är vinkeln
• •Båglängd: $b=\frac{v}{360°}\cdot 2\pi r$
• •Volym cylinder: $V=\pi r^{2}h$
• •Volym kon: $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$
• •Volym klot: $V=\frac{4}{3}\pi r^3$
• •Volym pyramid: $V=\frac{1}{3}\cdot \text{basarea}\cdot h$
• •Mantelarea cylinder: $M=2\pi rh$
• •Totalarea cylinder: $A=2\pi r^2+2\pi rh$
• •Skala 2D: Om skala $1:k$ blir areor $1:k^2$
• •Skala 3D: Om skala $1:k$ blir volymer $1:k^3$
• •Likformighet: Motsvarande vinklar lika, sidor proportionella
• •Kongruens: Exakt samma form och storlek (SSS, SAS, ASA)
• •Medelpunktsvinkel: Lika stor som bågen den skär av

Beräkningar med bråk och decimaltal. Samband mellan bråk, decimal och procent.

• •Bråkräkning: $\frac{2}{3}+\frac{5}{6}=\frac{4}{6}+\frac{5}{6}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$
• •Bråkmultiplikation: $\frac{3}{4}\times \frac{8}{9}=\frac{24}{36}=\frac{2}{3}$
• •Bråkdivision: $\frac{5}{6}÷\frac{2}{3}=\frac{5}{6}\times \frac{3}{2}=\frac{15}{12}=\frac{5}{4}$
• •Blandad form: $2\frac{3}{4}=\frac{11}{4}$
• •Periodiskt decimaltal: $\frac{1}{3}=0,\overline{3}$, $\frac{1}{6}=0,1\overline{6}$
• •Bråk till decimal: $\frac{7}{8}=0,875$
• •Bråk till procent: $\frac{3}{5}=0,6=60\%$
• •Negativa bråk: $-\frac{2}{3}+\frac{5}{6}=-\frac{4}{6}+\frac{5}{6}=\frac{1}{6}$

Procent och förändringsfaktor. Beräkningar med procent i vardagliga situationer.

• •Procent av tal: $35\%$ av $240=0,35\times 240=84$
• •Hur många procent: $\frac{45}{180}=0,25=25\%$
• •Hitta helheten: $15\%$ är $60$ kr → $100\%=\frac{60}{0,15}=400$ kr
• •Procentuell ökning: $250$ kr ökar med $20\%$ → $250\times 1,20=300$ kr
• •Procentuell minskning: $400$ kr minskar med $15\%$ → $400\times 0,85=340$ kr
• •Förändringsfaktor: Ökning $23\%$ → faktor $1,23$
• •Förändringsfaktor: Minskning $18\%$ → faktor $0,82$
• •Procentuell förändring: Från $80$ till $100$: $\frac{100-80}{80}=25\%$ ökning
• •Upprepad förändring: $3$ år med $5\%$ ränta: $1,05^3\approx 1,158=15,8\%$ total ökning
• •Baklänges: Efter $20\%$ rabatt kostar varan $320$ kr. Ursprungspris?
• •Lösning: $0,80\times x=320\Rightarrow x=400$ kr

Sannolikhet och kombinatorik. Tabeller, diagram och lägesmått.

• •Sannolikhet: $P(A)=\frac{\text{gynnsamma}}{\text{mo¨jliga}}$
• •Tärning: $P(\text{udda})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
• •Komplementhändelse: $P(\text{inte A})=1-P(A)$
• •Oberoende händelser: $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$
• •Två tärningar: $P(\text{summa 7})=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$
• •Kombinatorik: Antal sätt välja 2 av 5: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)=\frac{5!}{2!\cdot 3!}=10$
• •Permutation: $5!=120$ sätt att ordna 5 objekt
• •Multiplikationsprincipen: 3 tröjor, 4 byxor → $3\times 4=12$ kombinationer
• •Medelvärde: $\bar{x}=\frac{\sum x_i}{n}$
• •Median: Mittersta värdet (eller medel av två mittersta)
• •Typvärde: Vanligast förekommande värde
• •Variationsbredd: $x_{max}-x_{min}$
• •Tolka diagram: Identifiera trender, jämför kategorier

Proportionalitet, härledda enheter, räta linjens ekvation och funktioner.

• •Proportionalitet: $y=kx$ där $k$ är konstant
• •Härledda enheter: Hastighet km/h, densitet g/cm³, pris kr/kg
• •Räta linjens ekvation: $y=kx+m$
• •Lutning $k$: $k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{\Delta y}{\Delta x}$
• •Exempel: Genom $(1,3)$ och $(4,9)$: $k=\frac{9-3}{4-1}=2$
• •$m$-värde: Skärning med y-axeln (där $x=0$)
• •Rita linje: $y=2x-1$ → punkter $(0,-1)$, $(1,1)$, $(2,3)$
• •Skärningspunkt x-axel: Sätt $y=0$, lös ut $x$
• •Parallella linjer: Samma $k$-värde
• •Funktion: $f(x)=x^2-3$ → $f(2)=4-3=1$
• •Graf: Linjär funktion ger rät linje, kvadratisk ger parabel

Strategier för matematiska problem. Formulering av frågeställningar och matematiska modeller.

• •Pólyas strategi: Förstå → Planera → Genomför → Återblicka
• •Algebraiskt: 'Summan av tre på varandra följande tal är 63'
• •Lösning: $x+(x+1)+(x+2)=63\Rightarrow 3x+3=63\Rightarrow x=20$
• •Geometriskt: 'Rektangel med omkrets 40 cm, längd 3 cm mer än bredd'
• •Lösning: $2(b+b+3)=40\Rightarrow 4b=34\Rightarrow b=8,5$ cm
• •Procentproblem: 'Befolkningen ökade 15% på 10 år. Hur många procent per år (genomsnitt)?'
• •Lösning: $1,15^{1/10}\approx 1,014$ → ca $1,4\%$ per år
• •Matematisk modell: Avståndet är proportionellt mot tiden vid konstant hastighet
• •Värdera strategi: Jämför olika lösningsmetoder, vilken är effektivast?
• •Kommunicera: Förklara din lösning med matematiska termer