Matematik åk 6 – övningar PDF, prov och facit

Rationella tal inklusive negativa tal. Sambandet mellan bråk, decimal och procent. Beräkningar med alla räknesätt. Förberedelse för högstadiet.

• •Räkna med negativa tal: $(-5)+8=3$, $(-3)-7=-10$
• •Multiplikation negativa: $(-4)\times 3=-12$, $(-5)\times (-2)=10$
• •Division negativa: $(-20)÷4=-5$, $(-15)÷(-3)=5$
• •Teckens regler: Minus gånger minus ger plus, minus gånger plus ger minus
• •Bråk, decimal, procent: $\frac{7}{8}=0,875=87,5\%$
• •Periodiska decimaltal: $\frac{1}{3}=0,\mathrm{333...}=0,\overline{3}$
• •Procentuella förändringar: Ökning $15\%$ → faktor $1,15$
• •Flera procentändringar: $100\times 1,10\times 1,10=121$ ($10\%$ ökning två gånger)
• •Hitta ursprungligt värde: Efter $25\%$ rabatt: $150$ kr. Ursprungspris?
• •Lösning: $0,75\times x=150\Rightarrow x=200$ kr
• •Potenser: $2^6=64$, $3^4=81$, $5^3=125$
• •Potensregler: $2^3\times 2^4=2^7=128$
• •Tiopotenser: $4,5\times 10^5=450000$
• •Kvadratrot: $\sqrt{49}=7$, $\sqrt{144}=12$, $\sqrt{2}\approx 1,41$
• •SGD och MGN: SGD$(24,36)=12$, MGN$(24,36)=72$
• •Primtalsfaktorisering: $180=2^2\times 3^2\times 5$
• •Delbarhet 6: Delbart med både 2 och 3
• •Delbarhet 9: Siffersumman delbar med 9

Variabler i algebraiska uttryck och ekvationer. Metoder för att lösa ekvationer. Mönster och programmering. Tips: Avsätt 'Algebramåndagar' med 45-50 minuter fokuserad träning varje vecka!

• • VECKA 1-6: Förenkla uttryck
• •Samla termer: $5x+3-2x+7=3x+10$
• •Distributiva lagen: $3(2x+4)=6x+12$
• •Flera parenteser: $2(x+3)+4(x-1)=2x+6+4x-4=6x+2$
• •Minus framför parentes: $5-(2x-3)=5-2x+3=8-2x$
• •Faktorisera (intro): $6x+9=3(2x+3)$
• • VECKA 7-14: Ekvationslösning
• •Ekvation: $4x-7=2x+9\Rightarrow 2x=16\Rightarrow x=8$
• •Ekvation med bråk: $\frac{x}{5}=8\Rightarrow x=40$
• •Ekvation med bråk: $\frac{2x+1}{3}=5\Rightarrow 2x+1=15\Rightarrow x=7$
• •Ekvation med parentes: $3(x-2)=2(x+4)\Rightarrow 3x-6=2x+8\Rightarrow x=14$
• •Prova lösningen: $3(14-2)=36$ och $2(14+4)=36$
• • VECKA 15-20: Olikheter (intro)
• •Olikhet: $x+3>7\Rightarrow x>4$ (alla tal större än 4)
• •Olikhet: $2x\le 10\Rightarrow x\le 5$
• •Olikhet på tallinje: $x>2$ visas med öppen cirkel vid 2, pil åt höger
• •OBS! Vid multiplikation/division med negativt tal: Vänd olikhetstecknet!
• • VECKA 21-28: Formler och samband
• •Ställ upp formel: 'Tre gånger ett tal minskat med 5' → $3x-5$
• •Formel för omkrets: Rektangel $O=2(l+b)$. Om $O=30$ och $l=9$, vad är $b$?
• •Lösning: $30=2(9+b)\Rightarrow 15=9+b\Rightarrow b=6$
• •Formel för hastighet: $v=\frac{s}{t}$. Om $v=80$ km/h och $t=2,5$ h, då $s=200$ km
• •Funktionstänkande: $f(x)=2x+1$ → $f(3)=7$, $f(-2)=-3$
• • VECKA 29-36: Mönster och talföljder
• •Rekursiv formel: $a_1=2$, $a_{n+1}=a_n+5$ → $2,7,12,17,...$
• •Explicit formel: $a_n=5n-3$ → $a_1=2$, $a_2=7$, $a_{10}=47$
• •Fibonacciföljden: $1,1,2,3,5,8,13,21,...$ (varje tal = summa av två föregående)
• •Triangeltal: $1,3,6,10,15,...$ formel: $T_n=\frac{n(n+1)}{2}$
• •Kvadrattal: $1,4,9,16,25,...$ formel: $K_n=n^2$
• • VECKA 37-40: Programmering och avslut
• •Algoritm: Sekventering, selektion (villkor), iteration (loopar)
• •Scratch projekt: Spel med variabler, loopar och villkor
• •Funktioner i kod: Definiera och anropa egna funktioner
• •Felsökning: Hitta och rätta buggar i kod
• • TIPS: Starta varje algebralektion med en 'snabb-ekvation' för uppvärmning!

Avancerad bråkräkning med alla fyra räknesätten. Förberedelse för högstadiet.

• •Addition: $\frac{3}{4}+\frac{5}{6}=\frac{9}{12}+\frac{10}{12}=\frac{19}{12}=1\frac{7}{12}$
• •Subtraktion: $2\frac{1}{3}-\frac{5}{6}=\frac{7}{3}-\frac{5}{6}=\frac{14}{6}-\frac{5}{6}=\frac{9}{6}=1\frac{1}{2}$
• •Multiplikation: $\frac{4}{5}\times \frac{15}{8}=\frac{60}{40}=\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}$
• •Förkorta före multiplikation: $\frac{4}{5}\times \frac{15}{8}=\frac{1}{1}\times \frac{3}{2}=\frac{3}{2}$ (korsa 4/8 och 5/15)
• •Division: $\frac{7}{8}÷\frac{3}{4}=\frac{7}{8}\times \frac{4}{3}=\frac{28}{24}=\frac{7}{6}$
• •Blandade operationer: $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\times \frac{3}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$
• •Bråk i ekvation: $\frac{2x}{3}=10\Rightarrow 2x=30\Rightarrow x=15$
• •Negativa bråk: $-\frac{3}{4}+\frac{1}{2}=-\frac{3}{4}+\frac{2}{4}=-\frac{1}{4}$
• •Bråk och procent: $\frac{5}{8}$ av klassen $=62,5\%$ av klassen

Geometriska objekt, mätning, area, volym, vinklar, skala och symmetri.

• •Cirkelns area: $A=\pi r^2$. Om $d=14$ cm, då $r=7$ → $A=49\pi \approx 154$ cm²
• •Cirkelns omkrets: $O=2\pi r=\pi d$. Om $d=14$ → $O=14\pi \approx 44$ cm
• •Cirkelsektor area: $A=\frac{\theta }{360°}\times \pi r^2$ (där $\theta$ är vinkeln)
• •Båglängd: $b=\frac{\theta }{360°}\times 2\pi r$
• •Pythagoras sats: $a^2+b^2=c^2$ i rätvinklig triangel
• •Pythagoras exempel: Kateter 5 och 12 → $c=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$
• •Pythagoras baklänges: $c=10$, $a=6$ → $b=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$
• •Volym prisma: $V=\text{basarea}\times h$
• •Volym cylinder: $V=\pi r^{2}h$. Om $r=5$, $h=10$ → $V=250\pi \approx 785$ cm³
• •Volym kon: $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$ (en tredjedel av cylindern)
• •Volym klot: $V=\frac{4}{3}\pi r^3$. Om $r=6$ → $V=288\pi \approx 905$ cm³
• •Mantelarea cylinder: $M=2\pi rh$
• •Totalarea cylinder: $A=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r(r+h)$
• •Vinkelsumma polygon: $(n-2)\times 180°$ (där $n$ = antal sidor)
• •Hexagon vinkelsumma: $(6-2)\times 180°=720°$
• •Skala avancerad: Kartan $1:250000$ → $4$ cm på kartan $=10$ km

Koordinatsystem, grafer och linjeära samband.

• •Linje: $y=kx+m$ där $k$ = lutning, $m$ = skärning med y-axeln
• •Bestäm lutning: Två punkter $(1,3)$ och $(4,9)$ → $k=\frac{9-3}{4-1}=2$
• •Skriv ekvation: Lutning $2$, går genom $(1,3)$ → $3=2(1)+m$ → $m=1$ → $y=2x+1$
• •Skärningspunkt x-axel: $y=0$ → lös $0=2x+4$ → $x=-2$
• •Skärningspunkt y-axel: $x=0$ → $y=m$ (konstanten)
• •Två linjer skär: $y=2x+1$ och $y=-x+7$ → $2x+1=-x+7$ → $x=2$, $y=5$
• •Parallella linjer: Samma lutning $k$, olika $m$
• •Vinkelräta linjer (intro): $k_1\times k_2=-1$
• •Proportionalitet i graf: Rät linje genom origo
• •Avläsa: 'När kostar det $60$ kr?' Hitta $x$ där $y=60$ på grafen

Sannolikhet, kombinatorik, diagram och lägesmått. Förberedelse för högstadiet.

• •Sannolikhet: $0\le P(A)\le 1$, $P(\text{sa¨ker})=1$, $P(\text{omo¨jlig})=0$
• •Komplementregel: $P(\text{inte A})=1-P(A)$
• •Additionsregeln: $P(A\text{ eller }B)=P(A)+P(B)$ (om A och B uteslutande)
• •Multiplikationsregeln: $P(A\text{ och }B)=P(A)\times P(B)$ (oberoende)
• •Betingad sannolikhet intro: 'Givet att första är röd, vad är P(andra röd)?'
• •Träddiagram: Visa alla möjliga utfall och beräkna sannolikheter
• •Kombinatorik: Välja 3 av 8 (ordning spelar roll): $8\times 7\times 6=336$
• •Kombinatorik: Välja 3 av 8 (ordning ej roll): $\frac{336}{3!}=56$
• •Medelvärde med frekvens: $\bar{x}=\frac{\sum f_i{x}_i}{\sum f_i}$
• •Medelvärde exempel: Värden 5,6,7 med frekvenser 3,5,2 → $\frac{15+30+14}{10}=5,9$
• •Median udda antal: Mittersta värdet
• •Median jämnt antal: Medelvärde av de två mittersta
• •Variationsbredd: $x_{max}-x_{min}$
• •Vilseledande statistik: Diskutera hur diagram kan vara missvisande

Proportionalitet i olika former. Förberedelse för funktionsbegreppet.

• •Proportionalitet test: Är $\frac{y}{x}$ konstant? → proportionellt samband
• •Enhetspris: $4$ kg kostar $52$ kr → $1$ kg kostar $\frac{52}{4}=13$ kr
• •Direkt proportionalitet: $y=kx$, graf är rät linje genom origo
• •Omvänd proportionalitet: $y=\frac{k}{x}$, när $x$ ökar minskar $y$
• •Omvänd exempel: Hastighet och tid för samma sträcka: $v\times t=s$
• •Procentändring: $\frac{\text{nytt}-\text{gammalt}}{\text{gammalt}}\times 100\%$
• •Förändringsfaktor: $+15\%$ → $1,15$, $-20\%$ → $0,80$
• •Upprepad förändring: $3$ års $5\%$ ränta: $1,05^3\approx 1,158$ → $15,8\%$ total ökning
• •Skala och proportioner: Modell $1:24$ → verklig bil $4,8$ m, modell $20$ cm
• •Funktionsbegrepp intro: $f(x)=3x-2$ → 'maskin' som omvandlar x till y

Strategier för matematiska problem. Förberedelse för nationella prov och högstadiet.

• •Pólyas strategi: Förstå problemet, Gör en plan, Genomför planen, Återblicka
• •Algebraproblem: 'Siffersumman i ett tvåsiffrigt tal är 11. Byter man siffrorna får man 27 mer.'
• •Lösning: Talet $=10a+b$, $a+b=11$, $10b+a=10a+b+27$
• •Förenkla: $9b-9a=27$ → $b-a=3$. Med $a+b=11$: $a=4$, $b=7$. Talet = 47.
• •Geometriproblem: 'En rektangulär trädgård ska ha staket runt. 60 m staket finns. Max area?'
• •Lösning: $2l+2b=60$ → $l+b=30$. Area $=l\times b=l(30-l)$ max när $l=15$ → $A=225$ m²
• •Procentproblem: 'Först höjdes priset 20\%, sedan sänktes det 20\%. Slutpris jämfört med start?'
• •Lösning: $100\times 1,20\times 0,80=96$ → $4\%$ lägre än start
• •Hastighetsproblem: 'Halva sträckan med 60 km/h, halva med 40 km/h. Medelhastighet?'
• •Lösning: Ej $(60+40)/2$! Om sträcka $=120$ km: tid $=1+1,5=2,5$ h → $v=48$ km/h
• •Argumentera: Förklara ditt resonemang med matematiska termer
• •Generalisera: Kan du hitta en allmän formel eller regel?
• •Bevisa: Visa att påståendet alltid gäller (eller hitta motexempel)