Årskurs 9

Reella tal, potenser, rötter och grundpotensform. Förberedelse för gymnasiet.

• •Reella tal: $\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup \mathbb{I}$ (rationella och irrationella)
• •Irrationella tal: $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\pi$, $e$ (kan ej skrivas som bråk)
• •Bevis: $\sqrt{2}$ är irrationellt (motsägelsebevis)
• •Potensregler: $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$, $(ab{)}^n=a^n{b}^n$
• •Potensregler: $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, $(\frac{a}{b}{)}^n=\frac{a^n}{b^n}$
• •Negativa exponenter: $3^{-2}=\frac{1}{9}$, $(\frac{2}{3}{)}^{-1}=\frac{3}{2}$
• •Grundpotensform: $6,02\times 10^{23}$ (Avogadros tal)
• •Små tal: $1,6\times 10^{-19}$ C (elektronens laddning)
• •Beräkning: $(3\times 10^8{)}^2=9\times 10^{16}$
• •Kvadratrot: $\sqrt{144}=12$
• •Jämför rötter: $\sqrt{100}=10$ och $\sqrt{121}=11$

Algebraiska uttryck, enkla andragradsekvationer, ekvationssystem, funktioner och programmering. Tips: 'Algebramåndagar' med 50-60 min fokuserad träning.

• • VECKA 1-6: Algebraiska uttryck – repetition och fördjupning
• •Faktorisera: $x^2+7x+12=(x+3)(x+4)$
• •Faktorisera: $2x^2-8=2(x^2-4)=2(x+2)(x-2)$
• •Faktorisera: $x^2-6x+9=(x-3{)}^2$
• •Förenkla: $3(x+2)-x=2x+6$
• • VECKA 7-14: Andragradsekvationer
• •Standardform: $a{x}^2+bx+c=0$
• •Faktorisering: $x^2-5x+6=0\Rightarrow (x-2)(x-3)=0\Rightarrow x=2$ eller $x=3$
• •Enkel andragrad: $x^2=49\Rightarrow x=7$ eller $x=-7$
• •Tolka en enkel andragradsekvation i ett vardagsnära problem
• • VECKA 15-22: Ekvationssystem
• •Substitution: $\{\begin{array}{l}y=3x-2\\ 2x+y=8\end{array}$ → $2x+3x-2=8$
• •Addition: $\{\begin{array}{l}3x+2y=7\\ 2x-2y=3\end{array}$ → $5x=10$
• •Grafisk lösning: Skärningspunkt mellan linjerna
• •System med andragrad: $\{\begin{array}{l}y=x^2\\ y=2x+3\end{array}$
• •Lösning: $x^2=2x+3\Rightarrow x^2-2x-3=0\Rightarrow x=3$ eller $x=-1$
• • VECKA 23-30: Funktioner
• •Linjär funktion: $f(x)=kx+m$, konstant förändringstakt $k$
• •Tolka förändringstakt och skärningspunkt i en graf
• •Använd en linjär modell för att lösa ett vardagsnära problem
• • VECKA 31-38: Mönster och programmering
• •Talföljd: Hitta explicit formel från mönster
• •Python: Loopar, villkor, funktioner
• •Algoritm: Beskriv och testa en enkel lösningsstrategi
• • VECKA 39-40: Repetition inför NP
• • TIPS: Använd provliknande övningar för att träna på struktur, resonemang och redovisning.

Geometriska satser, Pythagoras, likformighet, area och volym.

• •Pythagoras sats: $a^2+b^2=c^2$ (rätvinklig triangel)
• •Omvänd Pythagoras: Om $a^2+b^2=c^2$ är triangeln rätvinklig
• •3D-diagonal: $d=\sqrt{l^2+b^2+h^2}$
• •Exempel: Rätblock $3\times 4\times 12$: $d=\sqrt{9+16+144}=13$
• •Cirkelns area: $A=\pi r^2$
• •Cirkelsektor: $A=\frac{v}{360°}\cdot \pi r^2$, $b=\frac{v}{360°}\cdot 2\pi r$
• •Cirkelns båglängd: $120°$ av cirkel $r=6$: $b=\frac{120}{360}\cdot 2\pi \cdot 6=4\pi$
• •Volym cylinder: $V=\pi r^{2}h$
• •Volym kon: $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$
• •Volym klot: $V=\frac{4}{3}\pi r^3$
• •Klotets area: $A=4\pi r^2$
• •Mantelarea kon: $M=\pi rs$ (s = sidhöjd)
• •Totalarea kon: $A=\pi r^2+\pi rs=\pi r(r+s)$
• •Likformighet: $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=k$
• •Areaskala: Om sidor $k$ gånger större, area $k^2$ gånger större
• •Volymskala: Om sidor $k$ gånger större, volym $k^3$ gånger större
• •Randvinkelsatsen: Randvinkel = halva medelpunktsvinkeln
• •Tangent till cirkel: Vinkelrät mot radien i tangeringspunkten

Sannolikhet, kombinatorik, lägesmått och spridningsmått.

• •Sannolikhet: $P(A)=\frac{\text{gynnsamma utfall}}{\text{alla utfall}}$
• •Komplementhändelse: $P(A^{\prime })=1-P(A)$
• •Additionssatsen: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
• •Oberoende: $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$
• •Beroende: $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)$
• •Träddiagram: Multiplicera längs grenar, addera mellan grenar
• •Kombinatorik: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$
• •Permutation: Ordnade val: $\frac{n!}{(n-k)!}$
• •Exempel: Lotteri med 7 av 35: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{35}{7}\right)=6724520$ kombinationer
• •Medelvärde: $\bar{x}=\frac{\sum x_i}{n}$
• •Viktad medelvärde: $\bar{x}=\frac{\sum f_i{x}_i}{\sum f_i}$
• •Median: 50:e percentilen, delar datamängden i två lika delar
• •Kvartiler: $Q_1$ (25%), $Q_2$ = median (50%), $Q_3$ (75%)
• •Kvartilavstånd: $IQR=Q_3-Q_1$
• •Standardavvikelse: $\sigma =\sqrt{\frac{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}{n}}$
• •Tolka standardavvikelse: Låg $\sigma$ = tätt kring medel, hög $\sigma$ = spritt
• •Lådagram: Visar min, $Q_1$, median, $Q_3$, max, samt extremvärden

Procentberäkningar, förändringsfaktor, ränta och exponentiell tillväxt.

• •Tre procentproblem: Andel, del, helhet
• •Andel: $\frac{45}{180}=0,25=25\%$
• •Del: $35\%$ av $240=0,35\times 240=84$
• •Helhet: $15\%$ är $60$ → $100\%=\frac{60}{0,15}=400$
• •Förändringsfaktor ökning: $+r\%$ → faktor $1+\frac{r}{100}$
• •Förändringsfaktor minskning: $-r\%$ → faktor $1-\frac{r}{100}$
• •Procentuell förändring: $\frac{\text{nytt}-\text{gammalt}}{\text{gammalt}}\times 100\%$
• •Sammansatt ränta: $K=K_0(1+r{)}^n$
• •Exempel: $5000$ kr, $4\%$ ränta, $10$ år: $K=5000\cdot 1,04^{10}\approx 7401$ kr
• •Exponentiell tillväxt: $N(t)=N_0\cdot a^t$ där $a>1$
• •Exponentiellt avtagande: $N(t)=N_0\cdot a^t$ där $0<a<1$
• •Halveringstid: $N=N_0\cdot 0,5^{t/T}$ där $T$ = halveringstid
• •Dubbleringstid: Löst $2=1,05^n$ → $n=\frac{\ln 2}{\ln 1,05}\approx 14$ år
• •Tumregel: År till dubblering $\approx \frac{72}{r\%}$
• •Baklänges: $K_0=\frac{K}{(1+r{)}^n}$ (nuvärde)

Tabeller, diagram, dataanalys och kritisk granskning.

• •Stapeldiagram: Jämför kategorier
• •Histogram: Visar fördelning av kontinuerlig data
• •Cirkeldiagram: Visar andelar (procent) av helhet
• •Linjediagram: Visar förändring över tid
• •Punktdiagram (scatter plot): Visar samband mellan två variabler
• •Korrelation: Positivt, negativt eller inget samband
• •Regressionsanalys intro: Bästa anpassade linje
• •Vilseledande statistik: Avkapade axlar, olämplig skala
• •Kritisk granskning: Urval, källa, presentation
• •Relativ frekvens: $f_r=\frac{\text{antal}}{\text{totalt}}$
• •Kumulativ frekvens: Summerad frekvens upp till värdet

Linjära och icke-linjära funktioner, grafisk lösning.

• •Linjär funktion: $f(x)=kx+m$
• •$k$ = lutning = förändringstakt: $k=\frac{\Delta y}{\Delta x}$
• •$m$ = y-axelns skärningspunkt
• •Andragradsfunktion: $f(x)=a{x}^2+bx+c$
• •Parabel: Öppning uppåt om $a>0$, nedåt om $a<0$
• •Symmetrilinje: $x=-\frac{b}{2a}$
• •Vertex: Minimi- eller maximipunkt
• •Nollställen: Lös $a{x}^2+bx+c=0$
• •Grafisk lösning ekvation: Rita $y=f(x)$, hitta $x$ där $y=0$
• •Grafisk lösning system: Hitta skärningspunkt
• •Exponentialfunktion intro: $f(x)=a^x$
• •Funktionsvärde: $f(3)$ = värdet där $x=3$
• •Invers funktion intro: Om $f(2)=5$, då $f^{-1}(5)=2$

Strategier, matematiska modeller och resonemang. Förberedelse för nationella provet.

• •Pólyas modell: Förstå, Planera, Genomför, Återblicka
• •Algebraisk modell: Översätt text till ekvation/system
• •Exempel: 'Biljetterna kostade 1200 kr. Vuxen 150 kr, barn 75 kr. 10 personer åkte.'
• •Modell: $\{\begin{array}{l}v+b=10\\ 150v+75b=1200\end{array}$
• •Lösning: $v=6$ vuxna, $b=4$ barn
• •Geometrisk modell: Maximera area med given omkrets
• •Exempel: Staket 100 m ska inhägna rektangel. Max area?
• •Modell: $A=x(50-x)=-x^2+50x$, max vid $x=25$ → $A=625$ m²
• •Procentmodell: 'Rea 30% sedan ytterligare 20%. Total rabatt?'
• •Lösning: $0,70\times 0,80=0,56$ → $44\%$ total rabatt (inte $50\%$!)
• •Hastighetsproblem: Medelhastighet ≠ medel av hastigheter
• •Optimeringsproblem: Hitta max/min med parabelns vertex
• •Matematiskt resonemang: Argumentera för din lösning
• •Generalisera: Hitta allmän formel eller regel
• •Bevisa: Visa att påståendet alltid gäller
• • NATIONELLA PROVET: Öva på gamla NP och fokusera på problemlösning!