Årskurs 4

Rationella tal, däribland negativa tal, och deras egenskaper. Positionssystemet för hela tal och decimaltal. Vi utforskar olika talsystem genom historien och lär oss sambandet mellan bråk, decimal och procent.

• •Negativa tal: $...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...$ (tallinje)
• •Negativa i verkligheten: Temperatur $-5°C$, höjd under havet $-20$ m, skuld $-100$ kr
• •Jämföra negativa: $-3<-1<0<2$ (närmare noll = större)
• •Positionssystemet: $45678=4\cdot 10000+5\cdot 1000+6\cdot 100+7\cdot 10+8$
• •Decimaltal: $3,45=3+\frac{4}{10}+\frac{5}{100}=3+0,4+0,05$
• •Platsvärde decimaler: I $12,345$ är 4:an värd $\frac{4}{100}=0,04$
• •Talsystem: Romerska $\text{MCMXCIV}=1994$, $\text{MMXXVI}=2026$
• •Talsystem: Mayafolkets talsystem (bas 20), Babyloniska (bas 60)
• •Bråk till decimal: $\frac{1}{4}=0,25$, $\frac{3}{4}=0,75$, $\frac{1}{2}=0,5$
• •Bråk till decimal: $\frac{1}{5}=0,2$, $\frac{2}{5}=0,4$, $\frac{3}{5}=0,6$
• •Decimal till bråk: $0,25=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$
• •Procent introduktion: $50\%=\frac{50}{100}=\frac{1}{2}=0,5$
• •Procent: $25\%=\frac{1}{4}$, $75\%=\frac{3}{4}$, $10\%=\frac{1}{10}$
• •Procent i vardagen: $25\%$ rabatt på $200$ kr $=0,25\times 200=50$ kr rabatt
• •Addition decimaltal: $3,45+2,78=6,23$
• •Subtraktion decimaltal: $5,32-2,87=2,45$
• •Multiplikation: $23\times 45=23\times 40+23\times 5=920+115=1035$
• •Division: $156÷12=13$ (prova: $13\times 12=156$ )
• •Division med rest: $158÷12=13$ rest $2$ (ty $13\times 12=156$)
• •Prioriteringsregler: $3+4\times 5=3+20=23$ (multiplikation först!)
• •Prioriteringsregler: $(3+4)\times 5=7\times 5=35$ (parentesen först!)
• •Överslagsräkning: $49\times 21\approx 50\times 20=1000$
• •Huvudräkning: $25\times 8=25\times 4\times 2=100\times 2=200$

Matematiska likheter och likhetstecknets användning för ekvationer. Variabler i algebraiska uttryck och ekvationer. Metoder för att lösa ekvationer. Tips: Avsätt 'Algebraonsdagar' med 40-45 minuter fokuserad algebra varje vecka!

• • VECKA 1-5: Uttryck med variabler
• •Variabel: Bokstaven $x$ representerar ett okänt tal
• •Uttryck: $x+5$ betyder 'ett tal plus fem'
• •Uttryck: $3x$ betyder '$3$ gånger ett tal' (samma som $3\cdot x$)
• •Uttryck: $2x+7$ betyder 'dubbla talet och lägg till sju'
• •Beräkna uttryck: Om $x=4$, då är $2x+3=2\cdot 4+3=8+3=11$
• • VECKA 6-12: Enkla ekvationer
• •Ekvation: $x+7=15$ (hitta $x$ som gör likheten sann)
• •Lös ekvation: $x+7=15\Rightarrow x=15-7=8$
• •Lös ekvation: $x-5=12\Rightarrow x=12+5=17$
• •Lös ekvation: $3x=24\Rightarrow x=24÷3=8$
• •Lös ekvation: $\frac{x}{4}=6\Rightarrow x=6\times 4=24$
• •Kontrollera: $x=8$ i $x+7=15$: $8+7=15$
• • VECKA 13-20: Tvåstegs-ekvationer
• •Två steg: $2x+5=17\Rightarrow 2x=12\Rightarrow x=6$
• •Två steg: $3x-4=14\Rightarrow 3x=18\Rightarrow x=6$
• •Två steg: $\frac{x}{2}+3=10\Rightarrow \frac{x}{2}=7\Rightarrow x=14$
• • VECKA 21-28: Talföljder och mönster
• •Aritmetisk följd: $5,9,13,17,\underline{21},\underline{25}$ (differens $+4$)
• •Aritmetisk formel: $a_n=5+(n-1)\cdot 4$ för följden ovan
• •Geometrisk följd: $3,6,12,24,\underline{48},\underline{96}$ (kvot $\times 2$)
• •Figurföljd: Triangeltal $1,3,6,10,15,...$ ($+2,+3,+4,+5,...$)
• • VECKA 29-36: Programmering
• •Visuell programmering: Scratch - loopar, villkor, variabler
• •Algoritm: UPPREPA 6 [FRAMÅT 50, HÖGER 60] → ritar hexagon
• •Villkor: OM poäng > 100 DÅ skriv 'Vinst!' ANNARS skriv 'Försök igen'
• •Loop med räknare: FÖR i = 1 TILL 10: skriv $i\times 7$
• • VECKA 37-40: Blandade utmaningar
• •Problemlösning med algebra: 'Summan av två tal är 25, skillnaden är 7. Vilka?'
• •Lösning: $x+y=25$ och $x-y=7$ → $x=16$, $y=9$
• • TIPS: Använd Scratch eller Code.org för att öva programmering!

Hur tal i bråk- och decimalform kan användas i vardagliga situationer. Beräkningar med bråk och decimaltal.

• •Bråkdelar: Täljare (antal delar vi har) och nämnare (antal delar totalt): $\frac{3}{4}$
• •Likvärdiga bråk: $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=\frac{5}{10}$
• •Förkorta bråk: $\frac{6}{8}=\frac{6÷2}{8÷2}=\frac{3}{4}$
• •Förläng bråk: $\frac{2}{3}=\frac{2\times 4}{3\times 4}=\frac{8}{12}$
• •Addition samma nämnare: $\frac{2}{5}+\frac{1}{5}=\frac{3}{5}$
• •Subtraktion samma nämnare: $\frac{5}{8}-\frac{2}{8}=\frac{3}{8}$
• •Addition olika nämnare: $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{2}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$
• •Addition olika nämnare: $\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
• •Bråk av tal: $\frac{3}{4}$ av $24=\frac{3\times 24}{4}=\frac{72}{4}=18$
• •Bråk av tal: $\frac{2}{5}$ av $35=\frac{2\times 35}{5}=\frac{70}{5}=14$
• •Blandad form: $\frac{7}{4}=1\frac{3}{4}$ (1 hel och 3 fjärdedelar)
• •Blandad form: $2\frac{1}{3}=\frac{2\times 3+1}{3}=\frac{7}{3}$
• •Jämföra bråk: $\frac{3}{4}>\frac{2}{3}$ (gemensam nämnare: $\frac{9}{12}>\frac{8}{12}$)

Grundläggande geometriska två- och tredimensionella objekt. Mätning av längd, area, massa, volym, tid och vinkel. Metoder för omkrets och area. Skala och symmetri.

• •Rektangelns area: $A=b\cdot h$, t.ex. $A=8\cdot 5=40$ cm²
• •Rektangelns omkrets: $O=2b+2h=2(b+h)$, t.ex. $O=2(8+5)=26$ cm
• •Kvadratens area: $A=s^2$, t.ex. sida $=6$ cm → $A=6^2=36$ cm²
• •Kvadratens omkrets: $O=4s$, t.ex. $O=4\cdot 6=24$ cm
• •Triangelns area: $A=\frac{b\cdot h}{2}$, t.ex. $A=\frac{10\cdot 6}{2}=30$ cm²
• •Parallellogrammens area: $A=b\cdot h$, t.ex. $A=7\cdot 4=28$ cm²
• •Sammansatta figurer: Dela upp i enklare figurer, beräkna var för sig
• •Längdenheter: $1$ km $=1000$ m, $1$ m $=100$ cm $=1000$ mm
• •Areaenheter: $1$ m² $=10000$ cm², $1$ cm² $=100$ mm²
• •Massaenheter: $1$ ton $=1000$ kg, $1$ kg $=1000$ g
• •Volymenheter: $1$ m³ $=1000$ dm³ $=1000$ liter
• •Volym rätblock: $V=l\cdot b\cdot h$, t.ex. $V=4\cdot 3\cdot 2=24$ cm³
• •Vinklar: Rät vinkel $=90°$, rak vinkel $=180°$, hel vinkel $=360°$
• •Vinkeltyper: Spetsig $<90°$, trubbig $>90°$ och $<180°$
• •Triangelns vinkelsumma: $\alpha +\beta +\gamma =180°$
• •Skala: $1:100$ betyder $1$ cm på ritning $=100$ cm $=1$ m i verkligheten
• •Skala beräkning: Ritad längd $=5$ cm, skala $1:50$ → verklig längd $=250$ cm
• •Symmetri: En figur är symmetrisk om den kan vikas och två hälfterna passar ihop
• •Rotationssymmetri: Kvadraten har rotationssymmetri av ordning 4

Koordinatsystem och gradering av koordinataxlar. Grafer för att uttrycka proportionella samband.

• •Koordinatsystem: x-axel (horisontell) och y-axel (vertikal)
• •Punkt i koordinatsystem: $A=(3,5)$ betyder $x=3$ och $y=5$
• •Origo: Punkten $(0,0)$ där axlarna korsas
• •Rita punkter: $A(2,3)$, $B(5,3)$, $C(5,7)$, $D(2,7)$ → rektangel
• •Negativa koordinater: $(-3,2)$ är 3 steg åt vänster, 2 steg upp
• •Fyra kvadranter: I $(+,+)$, II $(-,+)$, III $(-,-)$, IV $(+,-)$
• •Proportionellt samband: $y=2x$ ger punkterna $(1,2),(2,4),(3,6)$
• •Proportionell graf: Rät linje genom origo
• •Avläsa graf: Vid $x=4$ läser vi av att $y=8$ på linjen $y=2x$
• •Tabell till graf: Tid (h): 1, 2, 3 | Sträcka (km): 5, 10, 15 → $y=5x$

Slumpmässiga händelser, chans och risk. Kombinatorik. Tabeller och diagram. Lägesmåtten medelvärde, typvärde och median.

• •Sannolikhet: $P(\text{ha¨ndelse})=\frac{\text{gynnsamma utfall}}{\text{mo¨jliga utfall}}$
• •Tärning: $P(6)=\frac{1}{6}\approx 0,167\approx 16,7\%$
• •Tärning: $P(\text{ja¨mnt tal})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=50\%$
• •Två slantar: Möjliga utfall: KK, KL, LK, LL → $P(\text{tva˚ krona})=\frac{1}{4}$
• •Kombinatorik: 3 tröjor och 4 byxor → $3\times 4=12$ kombinationer
• •Kombinatorik: Hur många 3-siffriga tal med siffrorna 1,2,3 (inga upprepningar)? $3!=6$
• •Medelvärde: $\bar{x}=\frac{4+7+5+8+6}{5}=\frac{30}{5}=6$
• •Median: Ordna $3,5,7,8,12$ → median $=7$ (mittersta talet)
• •Median jämnt antal: $4,6,8,10$ → median $=\frac{6+8}{2}=7$
• •Typvärde: I serien $2,4,4,4,6,7$ är typvärdet $4$ (vanligast)
• •Stapeldiagram: Kategorier på x-axeln, frekvens på y-axeln
• •Linjediagram: Visar förändring över tid
• •Cirkeldiagram: Visar andelar som procent av helheten

Proportionalitet och hur proportionella samband uttrycks i bråk-, decimal- och procentform.

• •Proportionalitet: Om $x$ fördubblas, fördubblas även $y$
• •Proportionell formel: $y=kx$ där $k$ är konstant
• •Exempel: Hastighet $60$ km/h → $\text{stra¨cka}=60\times \text{tid}$
• •Procentökning: $200$ kr ökar med $15\%$ → $200\times 1,15=230$ kr
• •Procentminskning: $150$ kr minskar med $20\%$ → $150\times 0,80=120$ kr
• •Proportionell tabell: Tid (h): 1, 2, 3 | Lön (kr): 100, 200, 300
• •Hitta konstant: $\frac{y}{x}=\frac{200}{2}=100$ kr/h → $y=100x$
• •Bråk som andel: $\frac{3}{5}$ av klassen = $\frac{3}{5}\times 25=15$ elever
• •Decimal som andel: $0,6$ av $80$ kr $=0,6\times 80=48$ kr

Strategier för att lösa matematiska problem i elevnära situationer. Formulering av matematiska frågeställningar utifrån vardagliga situationer.

• •Analysera: Läs problemet noggrant, vad är känt? Vad söks?
• •Välj strategi: Rita bild, gör tabell, skriv ekvation, förenkla
• •Flerstegsproblem: 'Köp 3 böcker à 89 kr med 20\% rabatt' → $3\times 89\times 0,80=213,60$ kr
• •Åldersproblem: 'Mamma är 3 gånger så gammal som sonen. Tillsammans 48 år.' → $x+3x=48$
• •Lösning: $4x=48\Rightarrow x=12$ (sonen), $3x=36$ (mamma)
• •Pengaproblem: 'Jag köpte varor för $\frac{2}{5}$ av mina pengar. 180 kr kvar. Hur mycket hade jag?'
• •Lösning: $\frac{3}{5}$ av pengarna $=180$ kr → $\frac{1}{5}=60$ kr → totalt $5\times 60=300$ kr
• •Areaproblem: 'Rektangel med omkrets 24 cm och längd dubbla bredden. Area?'
• •Lösning: $2(2b+b)=24\Rightarrow 6b=24\Rightarrow b=4$, $l=8$ → $A=32$ cm²
• •Kontrollera: Är svaret rimligt? Stämmer det med villkoren?
• •Förklara: Berätta hur du tänkte, använd matematiska begrepp