Potenser – Potensregler och tiopotenser

En potens skrivs $a^n$ där $a$ kallas bas och $n$ kallas exponent. Exponenten anger hur många gånger basen ska multipliceras med sig själv. Till exempel betyder $3^4$ att vi multiplicerar $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$. Speciellt gäller att $a^1 = a$ och $a^0 = 1$ för alla $a \neq 0$. Potenser är grundläggande för att skriva stora tal kortfattat.

Det finns flera viktiga potensregler som gör beräkningar enklare. Vid multiplikation av potenser med samma bas adderar vi exponenterna: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Vid division subtraherar vi: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$. En potens upphöjd till en potens ger: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Dessutom gäller $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ och $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$.

En negativ exponent innebär att vi tar inversen av potensen: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Detta följer naturligt från divisionsregeln: $\frac{a^0}{a^n} = a^{0-n} = a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Negativa exponenter är vanliga i naturvetenskap, t.ex. enheten $\text{m/s}^2$ kan skrivas som $\text{m} \cdot \text{s}^{-2}$. Kom ihåg att basen aldrig får vara noll vid negativa exponenter.

Tiopotenser $10^n$ används för att uttrycka mycket stora eller mycket små tal. Inom naturvetenskap skrivs tal ofta i grundpotensform: $a \times 10^n$ där $1 \leq a < 10$. Vanliga prefix är till exempel kilo ($10^3$), mega ($10^6$), giga ($10^9$), milli ($10^{-3}$), mikro ($10^{-6}$) och nano ($10^{-9}$). Att kunna räkna med tiopotenser är avgörande inom fysik och kemi.

En bråkexponent betyder att vi tar en rot: $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$ och mer allmänt $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m$. Det innebär att $a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$ och $a^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{a}$. Alla potensregler gäller även för bråkexponenter, vilket gör att rotuttryck kan förenklas med potenslagarna.