HögstadietÅk 7–9, Gymnasiet

Likformighet – Likformiga trianglar och figurer

Likformighet innebär att två figurer har exakt samma form men kan ha olika storlek. Likformiga figurer har lika stora motsvarande vinklar och sidorna är proportionella – förhållandet mellan motsvarande sidor är konstant. Likformighet är centralt inom geometri och används i allt från kartläsning och modellbygge till beräkning av okända avstånd med hjälp av skuggor och liknande trianglar.

Viktiga punkter

✓Likformiga figurer har samma form: lika vinklar och proportionella sidor.
✓Skalfaktorn $k$ anger förhållandet mellan motsvarande sidor.
✓Tre likformighetsfall: SSS (proportionella sidor), SAS (två proportionella sidor + vinkel), AA (två lika vinklar).
✓Areor skalas med $k^2$ och volymer med $k^3$ .
✓Likformighet används i skuggberäkningar, kartor, modeller och fotografi.

Vad är likformighet?

Två figurer är likformiga om de har samma form, det vill säga om alla motsvarande vinklar är lika och alla motsvarande sidor har samma förhållande (skalfaktor). Vi skriver $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ om trianglarna är likformiga. Kongruens är ett specialfall av likformighet där skalfaktorn är 1. Likformighet bevarar vinklar och proportioner men inte nödvändigtvis mått som längd och area.

Exempel:

1En triangel med sidor $3, 4, 5$ är likformig med en triangel med sidor $6, 8, 10$ (skalfaktor 2)
2En rektangel $2 \times 4$ är likformig med en rektangel $3 \times 6$ (skalfaktor $1{,}5$ )
3Alla kvadrater är likformiga med varandra
4Alla liksidiga trianglar är likformiga med varandra

Likformiga trianglar

Likformiga trianglar har sina motsvarande sidor proportionella: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = k$ där $k$ är skalfaktorn. Detta innebär att om vi känner sidorna i en triangel och skalfaktorn kan vi beräkna sidorna i den likformiga triangeln. Likformiga trianglar är särskilt användbara för att beräkna okända sidor genom korsvis multiplikation.

Exempel:

1 $\triangle ABC$ har sidorna $4, 6, 8$ och $k = 1{,}5$ ger $\triangle DEF$ med sidorna $6, 9, 12$
2Om $\frac{3}{x} = \frac{5}{10}$ ger det $x = \frac{3 \cdot 10}{5} = 6$
3 $\triangle$ med sidor $5, 12, 13$ likformig med $\triangle$ med sidor $10, 24, 26$ (skalfaktor 2)
4Om $\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{7}{14} = 0{,}5$ är skalfaktorn $0{,}5$

Likformighetsfallen (SSS, SAS, AA)

Det finns tre fall som garanterar att två trianglar är likformiga. SSS (sida-sida-sida): alla tre par av motsvarande sidor är proportionella. SAS (sida-vinkel-sida): två par av motsvarande sidor är proportionella och den mellanliggande vinkeln är lika. AA (vinkel-vinkel): två par av motsvarande vinklar är lika (den tredje vinkeln blir automatiskt lika eftersom vinkelsumman alltid är $180°$ ). AA-fallet är det vanligaste och enklaste att använda.

Exempel:

1SSS: Sidorna $3, 5, 7$ och $6, 10, 14$ ger $\frac{3}{6} = \frac{5}{10} = \frac{7}{14} = 0{,}5$ ✓
2SAS: $\frac{4}{8} = \frac{6}{12} = 0{,}5$ och mellanliggande vinkel $= 60°$ i båda ✓
3AA: Vinkel $A = 40°$ , vinkel $B = 70°$ i båda trianglarna ger likformighet ✓
4AA: Två rätvinkliga trianglar med en gemensam spetsig vinkel på $35°$ är likformiga

Skalförhållande

Skalförhållandet (skalfaktorn) $k$ anger hur mycket större eller mindre den ena figuren är jämfört med den andra. Om $k = 2$ är den ena figuren dubbelt så stor. Observera att medan längder skalas med $k$ , skalas areor med $k^2$ och volymer med $k^3$ . Till exempel, om skalfaktorn mellan två likformiga rektanglar är 3 blir arean $3^2 = 9$ gånger större.

Exempel:

1Skalfaktor $k = 3$ : en sida 5 cm blir $5 \cdot 3 = 15$ cm
2Skalfaktor $k = 2$ : area $10 \text{ cm}^2$ blir $10 \cdot 2^2 = 40 \text{ cm}^2$
3Skalfaktor $k = 4$ : volym $8 \text{ cm}^3$ blir $8 \cdot 4^3 = 512 \text{ cm}^3$
4Karta med skala 1:50\,000 – 2 cm på kartan = $2 \cdot 50\,000 = 100\,000$ cm $= 1$ km

Tillämpningar

Likformighet har många praktiska tillämpningar. Genom att mäta en skugga och ett känt föremål kan du beräkna höjden på ett träd eller en byggnad – solen skapar likformiga trianglar. Kartor och ritningar bygger på likformighet med en given skala. Inom arkitektur används skalmodeller, och inom fotografi bestämmer brännvidd och avstånd hur stor en bild blir. Likformighet är också grunden för trigonometrins definitioner.

Exempel:

1En person (1{,}8 m) har skugga 2{,}4 m, ett träd har skugga 8 m: $\frac{h}{8} = \frac{1{,}8}{2{,}4} \Rightarrow h = 6$ m
2Modell i skala 1:100 – en vägg på 12 m i verkligheten $= 12$ cm i modellen
3Foto: föremål 3 m bort ger bild 2 cm, föremål 9 m bort ger bild $\frac{2 \cdot 3}{9} = 0{,}67$ cm
4Två speglar skapar en likformig triangel: $\frac{3}{x} = \frac{5}{15} \Rightarrow x = 9$ m

Ladda ner likformighet – likformiga trianglar och figurer-övningar som PDF

PDF med facit på likformighet – likformiga trianglar och figurer – anpassat efter Lgr22. Välj nivå E, C eller A.

📥 Ladda ner PDF med facit Se övningar →

Skapa egna likformighet – likformiga trianglar och figurer-prov med AI

Välj ämne, nivå och antal uppgifter – vår AI genererar ett komplett prov med facit och lösningar som PDF.

Skapa eget prov med AI →Läs mer om AI-generatorn

Öva likformighet – likformiga trianglar och figurer

ÖVNINGARGeometri-övningar med facitGenerera uppgifter med facit → STEG FÖR STEGPythagoras sats steg för stegSe hur du löser uppgifter → STEG FÖR STEGArea av triangel steg för stegSe hur du löser uppgifter →

Matematik per årskurs

ÅRSKURSMatematik åk 7 ÅRSKURSMatematik åk 8 ÅRSKURSMatematik åk 9 ÅRSKURSGymnasiematematik NATIONELLA PROVNationella prov matematik

Relaterade ämnen

Trianglar →Proportionalitet →Vinklar →Pythagoras sats →