Proportionalitet

Proportionalitet beskriver ett speciellt samband mellan två storheter. Vid direkt proportionalitet ökar den ena storheten när den andra ökar (dubbelt så mycket av det ena ger dubbelt så mycket av det andra). Vid omvänd proportionalitet minskar den ena när den andra ökar. Direkt:

y = kx

, omvänd:

y = \frac{k}{x}

Direkt proportionalitet

Två storheter är direkt proportionella om deras kvot är konstant: $\frac{y}{x} = k$ , eller skrivet som $y = kx$ . Konstanten $k$ kallas proportionalitetskonstanten. Grafen är en rät linje genom origo. Om $x$ fördubblas, fördubblas också $y$ .

📝 Exempel:

1Formel: $y = kx$ ( $k$ är konstanten)
23 kg äpplen kostar 45 kr $\Rightarrow k = \frac{45}{3} = 15$ kr/kg
35 kg kostar: $y = 15 \times 5 = 75$ kr
4Grafen går genom origo $(0, 0)$

Kännetecken direkt proportionalitet

För att identifiera direkt proportionalitet: kontrollera om kvoten $\frac{y}{x}$ är samma för alla värdepar. Om kvoten varierar är sambandet inte direkt proportionellt. Grafen måste gå genom origo och vara en rät linje.

📝 Exempel:

1Testa: är $\frac{y}{x}$ konstant för alla värden?
2 $x=2$ , $y=6$ : $\frac{y}{x} = 3$ | $x=4$ , $y=12$ : $\frac{y}{x} = 3$ ✓ Proportionellt!
3 $x=2$ , $y=5$ : $\frac{y}{x} = 2{,}5$ | $x=4$ , $y=8$ : $\frac{y}{x} = 2$ ✗ Ej proportionellt
4 $y = 2x + 3$ är INTE proportionellt (går ej genom origo)

Omvänd proportionalitet

Två storheter är omvänt proportionella om deras produkt är konstant: $x \times y = k$ , eller $y = \frac{k}{x}$ . När $x$ ökar, minskar $y$ så att produkten förblir densamma. Om $x$ fördubblas, halveras $y$ . Grafen är en hyperbel.

📝 Exempel:

1Formel: $xy = k$ eller $y = \frac{k}{x}$
212 arbetare klarar jobbet på 5 dagar $\Rightarrow k = 60$
36 arbetare: $y = \frac{60}{6} = 10$ dagar
4Hälften så många arbetare = dubbelt så lång tid

Jämförelse

Direkt proportionalitet: $y = kx$ (linje genom origo). Omvänd proportionalitet: $y = \frac{k}{x}$ (hyperbel). I verkligheten finns många exempel av båda: direkta (tid-sträcka vid konstant hastighet) och omvända (arbetare-tid för ett jobb).

📝 Exempel:

1DIREKT: Sträcka–tid vid konstant fart
2DIREKT: Pris–antal varor (samma styckpris)
3OMVÄND: Arbetare–tid för samma jobb
4OMVÄND: Hastighet–tid för samma sträcka

Proportionalitet

💡 Viktiga punkter

Direkt proportionalitet

📝 Exempel:

Kännetecken direkt proportionalitet

📝 Exempel:

Omvänd proportionalitet

📝 Exempel:

Jämförelse

📝 Exempel:

Träna på proportionalitet

Relaterade ämnen