Alla nivåerÅk 9, Gymnasiet Ma 1–2

Andragradsekvationer

En andragradsekvation är en ekvation där den högsta potensen av den okända är 2, alltså $x^2$ . Standardformen är $ax^2 + bx + c = 0$ . En andragradsekvation kan ha två lösningar, en lösning (dubbelrot) eller inga reella lösningar.

Viktiga punkter

Standardform: $ax^2 + bx + c = 0$
pq-formeln: $x = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$
Diskriminanten avgör antalet lösningar
Faktorisering: $(x - x_1)(x - x_2) = 0$
Kontrollera alltid lösningarna!

Standardform

Andragradsekvationer skrivs på standardformen $ax^2 + bx + c = 0$ , där $a \neq 0$ . Om $a = 1$ får vi den förenklade formen $x^2 + px + q = 0$ som används med pq-formeln.

Exempel:

1 $x^2 + 5x + 6 = 0$ (standardform med $a = 1$ )
2 $2x^2 - 3x - 2 = 0$ (standardform med $a = 2$ )
3 $x^2 - 9 = 0$ (saknar $x$ -term, $b = 0$ )
4 $x^2 + 4x = 0$ (saknar konstant, $c = 0$ )

pq-formeln

För ekvationer på formen $x^2 + px + q = 0$ används pq-formeln:

x = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}

Exempel:

1 $x^2 + 6x + 5 = 0 \Rightarrow p = 6, q = 5$
2 $x = -3 \pm \sqrt{9 - 5} = -3 \pm 2$
3 $x_1 = -3 + 2 = -1$ , $x_2 = -3 - 2 = -5$
4Kontroll: $(-1)^2 + 6(-1) + 5 = 1 - 6 + 5 = 0$

Diskriminanten

Uttrycket under rottecknet kallas diskriminanten: $D = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q$ . Den avgör antalet lösningar: $D > 0$ ger två lösningar, $D = 0$ ger en dubbelrot, $D < 0$ ger inga reella lösningar.

Exempel:

1 $D > 0$ : Två olika lösningar ( $\sqrt{D}$ är ett positivt tal)
2 $D = 0$ : En lösning (dubbelrot), $x = -\frac{p}{2}$
3 $D < 0$ : Inga reella lösningar (kan inte ta roten ur negativt tal)
4Exempel: $x^2 + 2x + 5 = 0 \Rightarrow D = 1 - 5 = -4 < 0$ (inga lösningar)

Faktorisering

Om ekvationen kan faktoriseras som $(x - x_1)(x - x_2) = 0$ , är lösningarna $x_1$ och $x_2$ (nollproduktmetoden). Detta fungerar bäst när lösningarna är hela tal.

Exempel:

1 $x^2 + 5x + 6 = 0 \Rightarrow (x + 2)(x + 3) = 0$
2 $x + 2 = 0$ eller $x + 3 = 0$
3 $x = -2$ eller $x = -3$
4Hitta två tal med summa $p$ och produkt $q$

Ladda ner andragradsekvationer-övningar som PDF

PDF med facit på andragradsekvationer – anpassat efter Lgr22. Välj nivå E, C eller A.

Ladda ner PDF med facit Se övningar →

Skapa egna andragradsekvationer-prov med AI

Välj ämne, nivå och antal uppgifter – vår AI genererar ett komplett prov med facit och lösningar som PDF.

Skapa eget prov med AI →Läs mer om AI-generatorn

Skapa prov och arbetsblad med facit

MathQuizily är inte bara en mattesida. Det är ett verktyg för att skapa färdiga matteprov med facit.

skapa matteprov med facit skapa matteprov med AI matteprov åk 6 med facit AI-mattegenerator för lärare

Öva andragradsekvationer

ÖVNINGARKvadratiska ekvationer-övningar med facitGenerera uppgifter med facit → STEG FÖR STEGLös andragradsekvation steg för stegSe hur du löser uppgifter → STEG FÖR STEGpq-formeln steg för stegSe hur du löser uppgifter →

Matematik per årskurs

ÅRSKURSMatematik åk 9 ÅRSKURSGymnasiematematik NATIONELLA PROVNationella prov matematik

Relaterade ämnen

pq-formeln →Andragradsfunktioner →Faktorisering →