Alla nivåerÅk 9, Gymnasiet Ma 1–2

Andragradsfunktioner

En andragradsfunktion har formen $f (x) = a x^{2} + b x + c$ där $a \neq = 0$ . Grafen är en parabel som öppnar uppåt om $a > 0$ och nedåt om $a < 0$ . Parabeln har en symmetrilinje och en extrempunkt (vertex).

Viktiga punkter

$a > 0$ : öppnar uppåt (minimum), $a < 0$ : öppnar nedåt (maximum)
Symmetrilinje: $x = - \frac{b}{2 a}$
Vertex ligger på symmetrilinjen
Nollställen: lös $a x^{2} + b x + c = 0$
$y$ -skärning: $(0, c)$

Parabelns form

Koefficienten $a$ bestämmer parabelns form: $∣ a ∣ > 1$ ger smalare parabel, $∣ a ∣ < 1$ ger bredare. Tecknet på $a$ avgör riktningen: $a > 0$ öppnar uppåt (minimum), $a < 0$ öppnar nedåt (maximum).

Exempel:

1 $y = x^{2}$ – standardparabel, öppnar uppåt
2 $y = - x^{2}$ – öppnar nedåt
3 $y = 2 x^{2}$ – smalare än $y = x^{2}$
4 $y = \frac{1}{2} x^{2}$ – bredare än $y = x^{2}$

Symmetrilinje och vertex

Symmetrilinjen har ekvationen $x = - \frac{b}{2 a}$ (eller $x = - \frac{p}{2}$ för $y = x^{2} + p x + q$ ). Vertex (extrempunkten) ligger på symmetrilinjen. Sätt in $x$ -värdet i funktionen för att få $y$ -koordinaten.

Exempel:

1 $y = x^{2} - 4 x + 3$ : symmetrilinje $x = - \frac{- 4}{2} = 2$
2Vertex: $y = 2^{2} - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = - 1$
3Vertex = $(2, - 1)$ – detta är minimum
4Parabeln är symmetrisk kring linjen $x = 2$

Nollställen

Nollställena är de $x$ -värden där $f (x) = 0$ , alltså där grafen skär $x$ -axeln. Lös andragradsekvationen $a x^{2} + b x + c = 0$ med pq-formeln eller faktorisering.

Exempel:

1 $y = x^{2} - 5 x + 6 = 0 \Rightarrow (x - 2) (x - 3) = 0$
2Nollställen: $x = 2$ och $x = 3$
3Grafen skär $x$ -axeln i punkterna $(2, 0)$ och $(3, 0)$
4 $y$ -skärning: sätt $x = 0 \Rightarrow y = c$

Rita en parabel

1) Bestäm riktning ( $a > 0$ eller $a < 0$ ). 2) Hitta symmetrilinjen och vertex. 3) Hitta nollställena (om de finns). 4) Hitta $y$ -skärningen. 5) Rita genom att spegla punkter kring symmetrilinjen.

Exempel:

1 $y = x^{2} - 2 x - 3$ : $a = 1 > 0$ (öppnar uppåt)
2Symmetrilinje: $x = 1$ , vertex: $(1, - 4)$
3Nollställen: $x = - 1$ och $x = 3$
4 $y$ -skärning: $(0, - 3)$

Ladda ner andragradsfunktioner-övningar som PDF

PDF med facit på andragradsfunktioner – anpassat efter Lgr22. Välj nivå E, C eller A.

Ladda ner PDF med facit Se övningar →

Skapa egna andragradsfunktioner-prov med AI

Välj ämne, nivå och antal uppgifter – vår AI genererar ett komplett prov med facit och lösningar som PDF.

Skapa eget prov med AI →Läs mer om AI-generatorn

Skapa prov och arbetsblad med facit

MathQuizily är inte bara en mattesida. Det är ett verktyg för att skapa färdiga matteprov med facit.

skapa matteprov med facit skapa matteprov med AI matteprov åk 6 med facit AI-mattegenerator för lärare

Öva andragradsfunktioner

ÖVNINGARKvadratiska ekvationer-övningar med facitGenerera uppgifter med facit → STEG FÖR STEGLös andragradsekvation steg för stegSe hur du löser uppgifter → STEG FÖR STEGRita graf steg för stegSe hur du löser uppgifter →

Matematik per årskurs

ÅRSKURSMatematik åk 9 ÅRSKURSGymnasiematematik NATIONELLA PROVNationella prov matematik

Relaterade ämnen

Andragradsekvationer →pq-formeln →Linjära funktioner →