Mathquizily
GymnasietÅk 9, Gymnasiet

pq-formeln

pq-formeln är en formel för att lösa andragradsekvationer på normalformen $x^2 + px + q = 0$. Den ger alltid rätt svar när den tillämpas korrekt och är ett oumbärligt verktyg i matematik. Formeln är:

x=−p2±(p2)2−qx = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}

Viktiga punkter

  • Normalform: x2+px+q=0x^2 + px + q = 0 (koefficient 1 framför x2x^2)
  • Formeln: x=−p2±(p2)2−qx = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}
  • Kom ihåg minustecknet: −p2-\frac{p}{2}, inte p2\frac{p}{2}
  • Diskriminant (p2)2−q\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q avgör antal lösningar
  • Dividera med aa först om koefficienten framför x2≠1x^2 \neq 1

Formeln

pq-formeln används när ekvationen är på normalformen x2+px+q=0x^2 + px + q = 0, där koefficienten framför x2x^2 är 1. Formeln lyder: x=−p2±(p2)2−qx = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}. Symbolen ±\pm betyder att det finns två möjliga svar: ett där vi adderar roten och ett där vi subtraherar den.

Exempel:

  • 1Formeln: x=−p2±(p2)2−qx = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}
  • 2pp = koefficienten framför xx (med tecken)
  • 3qq = konstanttermen (med tecken)
  • 4±\pm-tecknet ger två lösningar

Steg-för-steg metod

1) Skriv om ekvationen på normalformen x² + px + q = 0. 2) Identifiera p (koefficienten framför x) och q (konstanten). 3) Sätt in i formeln. 4) Beräkna diskriminanten (p/2)² - q. 5) Om diskriminanten ≥ 0, beräkna de två lösningarna.

Exempel:

  • 1Ekvation: x² - 8x + 15 = 0
  • 2Identifiera: p = -8, q = 15
  • 3x = -(-8)/2 ± √((-8/2)² - 15)
  • 4x = 4 ± √(16 - 15) = 4 ± 1
  • 5Svar: x = 5 eller x = 3

När koefficienten framför x² inte är 1

Om ekvationen har formen ax² + bx + c = 0 där a ≠ 1, måste du först dividera hela ekvationen med a för att få normalformen. Alternativt kan du använda abc-formeln (mitternachtsformel): x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a.

Exempel:

  • 12x² + 6x - 8 = 0 (a = 2)
  • 2Dividera med 2: x² + 3x - 4 = 0
  • 3Nu är p = 3, q = -4
  • 4x = -3/2 ± √(9/4 + 4) = -3/2 ± √(25/4) = -3/2 ± 5/2
  • 5x = 1 eller x = -4

Vanliga fel att undvika

Det vanligaste felet är att glömma minustecknet framför p/2 i formeln. Kom ihåg: x = -p/2, inte p/2. Var också noga med tecken när du identifierar p och q – om termen är -5x är p = -5, inte 5. Glöm inte att kontrollera ditt svar genom att sätta in det i ursprungsekvationen.

Exempel:

  • 1x² - 6x + 8 = 0: p = -6 (inte 6!)
  • 2x = -(-6)/2 ± ... = 3 ± ... (rätt)
  • 3x = -6/2 ± ... = -3 ± ... (FEL)
  • 4Kontrollera: Sätt in svaret i ekvationen

Ladda ner pq-formeln-övningar som PDF

PDF med facit på pq-formeln – anpassat efter Lgr22. Välj nivå E, C eller A.

Ladda ner PDF med facitSe övningar →

Skapa egna pq-formeln-prov med AI

Välj ämne, nivå och antal uppgifter – vår AI genererar ett komplett prov med facit och lösningar som PDF.

Skapa eget prov med AI →Läs mer om AI-generatorn

Skapa prov och arbetsblad med facit

MathQuizily är inte bara en mattesida. Det är ett verktyg för att skapa färdiga matteprov med facit.

skapa matteprov med facitskapa matteprov med AImatteprov åk 6 med facitAI-mattegenerator för lärare

Öva pq-formeln

ÖVNINGARKvadratiska ekvationer övningarGenerera uppgifter med facit → STEG FÖR STEGpq-formeln exempel steg för stegSe hur du löser uppgifter →

Matematik per årskurs

ÅRSKURSMatematik åk 9ÅRSKURSGymnasiematematikNATIONELLA PROVNationella prov matematik

Relaterade ämnen

Kvadratiska ekvationer →Kvadratrot →Algebraiska uttryck →