GymnasietÅk 9, Gymnasiet

Kvadratiska ekvationer

En kvadratisk ekvation (andragradsekvation) innehåller $x^2$ som högsta potens. Standardformen är $ax^2 + bx + c = 0$ . Dessa ekvationer kan ha två, en eller inga lösningar beroende på diskriminanten. Det finns flera metoder för att lösa dem: faktorisering, pq-formeln och kvadratkomplettering.

Viktiga punkter

Kvadratisk ekvation har $x^2$ som högsta potens
Normalform: $x^2 + px + q = 0$ (används med pq-formeln)
pq-formeln: $x = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}$
Diskriminanten avgör antal lösningar: $>0$ två, $=0$ en, $<0$ inga
Faktorisering fungerar bäst när rötterna är enkla tal

Vad är en kvadratisk ekvation?

En kvadratisk ekvation är en ekvation där variabeln $x$ förekommer i andra graden ( $x^2$ ). Den allmänna formen är $ax^2 + bx + c = 0$ , där $a \neq 0$ . Om $a = 1$ skrivs ekvationen $x^2 + px + q = 0$ , vilket är normalformen som används med pq-formeln.

Exempel:

1 $x^2 - 5x + 6 = 0$ (normalform: $a = 1$ )
2 $2x^2 + 3x - 2 = 0$ (allmän form: $a = 2$ )
3 $x^2 - 9 = 0$ (saknar $x$ -term, $b = 0$ )
4 $x^2 + 4x = 0$ (saknar konstant, $c = 0$ )

Faktorisering

Om ekvationen kan faktoriseras till formen $(x - r_1)(x - r_2) = 0$ , är lösningarna $x = r_1$ och $x = r_2$ . Denna metod fungerar bäst när lösningarna är heltal eller enkla bråk. Nollregeln säger att om en produkt är noll måste minst en faktor vara noll.

Exempel:

1 $x^2 - 5x + 6 = 0 \Rightarrow (x - 2)(x - 3) = 0 \Rightarrow x = 2$ eller $x = 3$
2 $x^2 - 9 = 0 \Rightarrow (x - 3)(x + 3) = 0 \Rightarrow x = \pm 3$
3 $x^2 + 4x = 0 \Rightarrow x(x + 4) = 0 \Rightarrow x = 0$ eller $x = -4$
4 $x^2 - 4x - 12 = 0 \Rightarrow (x - 6)(x + 2) = 0 \Rightarrow x = 6$ eller $x = -2$

pq-formeln

För ekvationer på normalformen $x^2 + px + q = 0$ ger pq-formeln lösningarna: $x = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}$ . Uttrycket under rottecknet kallas diskriminanten. Om diskriminanten är positiv finns två lösningar, om den är noll finns en lösning, och om den är negativ finns inga reella lösningar.

Exempel:

1 $x^2 - 6x + 5 = 0$ : $p = -6$ , $q = 5$
2 $x = -\frac{-6}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-6}{2}\right)^2 - 5} = 3 \pm \sqrt{9-5} = 3 \pm 2$
3 $x = 5$ eller $x = 1$
4Kontroll: $5^2 - 6 \cdot 5 + 5 = 25 - 30 + 5 = 0$

Diskriminanten

Diskriminanten $D = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q$ (eller $D = b^2 - 4ac$ i abc-formeln) avgör antalet lösningar. När $D > 0$ finns två olika lösningar. När $D = 0$ finns exakt en lösning (en dubbelrot). När $D < 0$ finns inga reella lösningar – ekvationen saknar lösning i de reella talen.

Exempel:

1 $x^2 - 4x + 3 = 0$ : $D = 4 - 3 = 1 > 0$ → två lösningar
2 $x^2 - 6x + 9 = 0$ : $D = 9 - 9 = 0$ → en lösning ( $x = 3$ )
3 $x^2 + 2x + 5 = 0$ : $D = 1 - 5 = -4 < 0$ → ingen lösning

Ladda ner kvadratiska ekvationer-övningar som PDF

PDF med facit på kvadratiska ekvationer – anpassat efter Lgr22. Välj nivå E, C eller A.

Ladda ner PDF med facit Se övningar →

Skapa egna kvadratiska ekvationer-prov med AI

Välj ämne, nivå och antal uppgifter – vår AI genererar ett komplett prov med facit och lösningar som PDF.

Skapa eget prov med AI →Läs mer om AI-generatorn

Skapa prov och arbetsblad med facit

MathQuizily är inte bara en mattesida. Det är ett verktyg för att skapa färdiga matteprov med facit.

skapa matteprov med facit skapa matteprov med AI matteprov åk 6 med facit AI-mattegenerator för lärare

Öva kvadratiska ekvationer

ÖVNINGARKvadratiska ekvationer-övningar med facitGenerera uppgifter med facit → STEG FÖR STEGLös andragradsekvation steg för stegSe hur du löser uppgifter → STEG FÖR STEGpq-formeln steg för stegSe hur du löser uppgifter →

Matematik per årskurs

ÅRSKURSMatematik åk 9 ÅRSKURSGymnasiematematik NATIONELLA PROVNationella prov matematik

Relaterade ämnen

pq-formeln →Linjära ekvationer →Kvadratrot →