Vad är en area?

Tänk dig ett rutnät där varje ruta är exakt $1\times 1$ cm. Lägger du figuren ovanpå rutnätet och räknar hur många rutor som täcks har du måttet i ${\text{cm}}^2$. Det är hela idén – formlerna är bara genvägar som slipper räkningen.

En rektangel med basen 5 cm och höjden 3 cm ger tre rader med fem rutor i varje. I stället för att räkna 15 rutor en och en multiplicerar du $5\cdot 3$. När figuren blir sned eller rund fungerar inte rutorna lika bra, och då behövs formler som är härledda ur just rektangeln.

Kvadrat: $A=s^2$. Rektangel: $A=b\cdot h$. Parallellogram: $A=b\cdot h$, där $h$ är det vinkelräta avståndet mellan de parallella sidorna – inte den sneda sidans längd. Triangel: $A=\frac{b\cdot h}{2}$. Parallelltrapets: $A=\frac{(a+b)\cdot h}{2}$, alltså medelvärdet av de två parallella sidorna gånger höjden. Romb: $A=\frac{d_1\cdot d_2}{2}$ med diagonalerna $d_1$ och $d_2$.

Cirkeln har formeln $A=\pi r^2$. Observera radien, inte diametern: har du diametern måste du halvera den först. En vanlig fälla är att räkna $\pi \cdot 10^2$ när 10 cm var diametern – rätt svar blir $\pi \cdot 5^2$, alltså en fjärdedel så stort.

Det enskilt vanligaste felet i triangel- och parallellogramuppgifter är att man använder en sida som höjd. Höjden är alltid det kortaste, vinkelräta avståndet från basen upp till motstående hörn eller sida. I en trubbig triangel kan höjden till och med hamna utanför figuren, och då ritar man en förlängning av basen streckad.

Du får välja vilken sida som ska vara bas, men höjden måste höra ihop med just den sidan. En triangel har tre bas–höjd-par och alla ger samma svar. Det är praktiskt när uppgiften bara anger måtten för ett av dem.

En L-formad planlösning, en tomt med ett hörn avklippt eller en fasad med fönster löses med två strategier. Antingen delar du figuren i rektanglar och trianglar, räknar varje del för sig och adderar. Eller så ritar du den minsta rektangel som omsluter hela figuren och subtraherar de delar som inte hör till.

Exempel: en vägg är $4\times 2,5$ m och innehåller ett fönster på $1,2\times 1,0$ m. Väggen är $10{\text{ m}}^2$, fönstret $1,2{\text{ m}}^2$, så ytan som ska målas blir $10-1,2=8,8{\text{ m}}^2$. Samma metod används för att räkna ut hur mycket golv, tapet eller gräsfrö som går åt.

Här går många bet: $1{\text{ m}}^2$ är inte 100 ${\text{cm}}^2$ utan $10000{\text{ cm}}^2$. Förklaringen är att både längden och bredden omvandlas, alltså $100\text{ cm}\times 100\text{ cm}$. Varje steg i enhetstrappan motsvarar därför faktorn $100$ i stället för $10$: $1{\text{ cm}}^2=100{\text{ mm}}^2$, $1{\text{ dm}}^2=100{\text{ cm}}^2$, $1{\text{ m}}^2=100{\text{ dm}}^2$.

För stora ytor används ar ($100{\text{ m}}^2$), hektar ($10000{\text{ m}}^2$) och kvadratkilometer ($1000000{\text{ m}}^2$). En fotbollsplan är ungefär 0,7 hektar. Kontrollera alltid att alla mått står i samma enhet innan du multiplicerar – blanda aldrig cm och m i samma formel.

Omkretsen mäter sträckan runt figuren och anges i cm eller m. Ytans storlek anges i ${\text{cm}}^2$ eller ${\text{m}}^2$, och volymen – hur mycket som får plats inuti en kropp – i ${\text{cm}}^3$, ${\text{m}}^3$ eller liter. Exponenten i enheten avslöjar alltså vilken dimension du räknar med: 1 för längd, 2 för yta, 3 för rymd.

Sambandet ger också en användbar kontroll. Fördubblar du alla längdmått i en figur blir ytan fyra gånger så stor ($2^2$) och volymen åtta gånger så stor ($2^3$). Det är därför en pizza på 40 cm innehåller fyra gånger så mycket som en på 20 cm, trots att diametern bara är dubbelt så stor.

På rymdgeometrin möter du två specialfall. Begränsningsarean är summan av alla ytor som omsluter en kropp: ett rätblock med kanterna $a$, $b$ och $c$ har $B=2(ab+ac+bc)$, och ett klot har $B=4\pi r^2$.

Mantelarean är den krökta sidoytan. Rullar du ut en cylinders mantel får du en rektangel med bredden lika med basens omkrets: $M=2\pi r\cdot h$. Cylinderns totala begränsningsarea blir då mantelytan plus de två cirkelformade locken, $B=2\pi rh+2\pi r^2$.

Färgburkens etikett anger räckvidd i ${\text{m}}^2$ per liter, golvleverantören säljer i kvadratmeter och en bostadsannons anger boytan i ${\text{m}}^2$. Ska du lägga klinker räknar du dessutom på spill, ofta 5–10 % extra utöver den uträknade ytan.

Inom naturvetenskapen dyker måttet upp i tryck ($p=\frac{F}{A}$, kraft per ytenhet), i strålning per kvadratmeter och i biologins beräkningar av bladyta. Att kunna beräkna arean snabbt och med rätt enhet är därför en av de mest användbara färdigheterna från grundskolans geometri.