Alla nivåerÅk 7–9, Gymnasiet

Talföljder

En talföljd är en ordnad lista av tal som följer ett visst mönster eller regel. Varje tal i följden kallas en term. De två viktigaste typerna är aritmetiska talföljder (konstant differens: $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ ) och geometriska talföljder (konstant kvot: $a_{n} = a_{1} \cdot k^{n - 1}$ ).

Viktiga punkter

Aritmetisk: konstant differens $d$ , $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$
Geometrisk: konstant kvot $k$ , $a_{n} = a_{1} \cdot k^{n - 1}$
Identifiera: testa skillnader först, sedan kvoter
Summa aritmetisk: $S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2}$
Summa geometrisk: $S_{n} = \frac{a _{1} ( k ^{n} - 1 )}{k - 1}$

Aritmetisk talföljd

I en aritmetisk talföljd är skillnaden (differensen $d$ ) mellan varje par av på varandra följande termer konstant. Vi adderar $d$ för att gå från en term till nästa. Formeln för term nummer $n$ är: $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ , där $a_{1}$ är första termen.

Exempel:

12, 5, 8, 11, 14, ... ( $d = 3$ )
2Formel: $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$
3 $a_{1} = 2$ , $d = 3$ : $a_{10} = 2 + (10 - 1) \times 3 = 2 + 27 = 29$
4100, 95, 90, 85, ... ( $d = - 5$ , minskande)

Geometrisk talföljd

I en geometrisk talföljd är kvoten ( $k$ ) mellan varje par av på varandra följande termer konstant. Vi multiplicerar med $k$ för att gå från en term till nästa. Formeln för term nummer $n$ är: $a_{n} = a_{1} \cdot k^{n - 1}$ .

Exempel:

12, 6, 18, 54, 162, ... ( $k = 3$ )
2Formel: $a_{n} = a_{1} \cdot k^{n - 1}$
3 $a_{1} = 2$ , $k = 3$ : $a_{5} = 2 \times 3^{4} = 2 \times 81 = 162$
41000, 500, 250, 125, ... ( $k = 0, 5$ , avtagande)

Hitta mönstret

För att identifiera typen: beräkna skillnaderna mellan termer. Om skillnaderna är konstanta är följden aritmetisk. Om inte, prova att beräkna kvoterna – om de är konstanta är följden geometrisk. Vissa följder är varken eller.

Exempel:

13, 7, 11, 15: skillnader 4, 4, 4 $\Rightarrow$ aritmetisk ( $d = 4$ )
22, 4, 8, 16: kvoter 2, 2, 2 $\Rightarrow$ geometrisk ( $k = 2$ )
31, 4, 9, 16: skillnader 3, 5, 7 $\Rightarrow$ varken (kvadrattal!)
4Fibonaccis: 1, 1, 2, 3, 5, 8 $\Rightarrow$ summa av två föregående

Summan av talföljder

Summan av de $n$ första termerna i en aritmetisk talföljd: $S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2}$ . För en geometrisk talföljd ( $k \neq = 1$ ): $S_{n} = \frac{a _{1} ( k ^{n} - 1 )}{k - 1}$ . Dessa formler är viktiga på gymnasienivå.

Exempel:

1Aritmetisk summa: $S_{n} = \frac{n ( f o ¨ rsta + sista )}{2}$
2 $1 + 2 + 3 + ... + 100 = \frac{100 \times ( 1 + 100 )}{2} = 5050$
3Geometrisk summa: $S_{n} = \frac{a _{1} ( k ^{n} - 1 )}{k - 1}$
4 $1 + 2 + 4 + 8 + 16 = \frac{1 \times ( 2 ^{5} - 1 )}{2 - 1} = 31$

Ladda ner talföljder-övningar som PDF

PDF med facit på talföljder – anpassat efter Lgr22. Välj nivå E, C eller A.

Ladda ner PDF med facit Se övningar →

Skapa egna talföljder-prov med AI

Välj ämne, nivå och antal uppgifter – vår AI genererar ett komplett prov med facit och lösningar som PDF.

Skapa eget prov med AI →Läs mer om AI-generatorn

Skapa prov och arbetsblad med facit

MathQuizily är inte bara en mattesida. Det är ett verktyg för att skapa färdiga matteprov med facit.

skapa matteprov med facit skapa matteprov med AI matteprov åk 6 med facit AI-mattegenerator för lärare

Öva talföljder

ÖVNINGARAlgebra-övningar med facitGenerera uppgifter med facit → STEG FÖR STEGTalföljd steg för stegSe hur du löser uppgifter →

Matematik per årskurs

ÅRSKURSMatematik åk 7 ÅRSKURSMatematik åk 8 ÅRSKURSMatematik åk 9 ÅRSKURSGymnasiematematik NATIONELLA PROVNationella prov matematik

Relaterade ämnen

Exponenter →Funktioner →Algebraiska uttryck →