Logaritmer

En logaritm besvarar frågan: "Vilken exponent behövs för att basen ska ge ett visst värde?" Sambandet

\log_b(x) = y

betyder att

b^y = x

. Logaritmer är det omvända till exponenter och har centrala tillämpningar inom naturvetenskap, teknik och ekonomi. De vanligaste logaritmerna är tiologaritmen

\lg(x) = \log_{10}(x)

och den naturliga logaritmen

\ln(x) = \log_e(x)

Viktiga punkter

\log_b(x) = y \Leftrightarrow b^y = x

(definitionen av logaritm)

Produktregeln:

\log(a \cdot b) = \log a + \log b

Potensregeln:

\log(a^n) = n \cdot \log a

\lg

är tiologaritmen (

\log_{10}

\ln

är naturliga logaritmen (

\log_e

)

Exponentiella ekvationer löses genom att logaritmera båda leden

Vad är en logaritm?

Logaritmen $\log_b(x)$ anger vilken exponent $y$ man måste upphöja basen $b$ till för att få $x$ . Det grundläggande sambandet är $\log_b(x) = y \Leftrightarrow b^y = x$ , där $b > 0$ , $b \neq 1$ och $x > 0$ . Logaritmen är alltså invers till exponentialfunktionen: $\log_b(b^y) = y$ och $b^{\log_b(x)} = x$ .

Exempel:

1 $\log_2(8) = 3$ eftersom $2^3 = 8$
2 $\log_{10}(1000) = 3$ eftersom $10^3 = 1000$
3 $\log_5(25) = 2$ eftersom $5^2 = 25$
4 $\log_3(1) = 0$ eftersom $3^0 = 1$ (gäller alla baser)

Logaritmlagarna

Logaritmlagarna (logaritmreglerna) förenklar beräkningar med logaritmer. Produktregeln: $\log_b(a \cdot c) = \log_b(a) + \log_b(c)$ . Kvotregeln: $\log_b\left(\frac{a}{c}\right) = \log_b(a) - \log_b(c)$ . Potensregeln: $\log_b(a^n) = n \cdot \log_b(a)$ . Dessutom gäller basbytet: $\log_b(a) = \frac{\log_c(a)}{\log_c(b)}$ .

Exempel:

1 $\log_2(4 \cdot 8) = \log_2(4) + \log_2(8) = 2 + 3 = 5$
2 $\lg\left(\frac{100}{10}\right) = \lg(100) - \lg(10) = 2 - 1 = 1$
3 $\log_3(81) = \log_3(3^4) = 4 \cdot \log_3(3) = 4$
4 $\log_2(5) = \frac{\lg 5}{\lg 2} \approx \frac{0{,}699}{0{,}301} \approx 2{,}32$

Tiologaritmen (lg) och naturliga logaritmen (ln)

Tiologaritmen $\lg(x) = \log_{10}(x)$ har bas 10 och används ofta i vardagliga sammanhang, t.ex. pH-skalan och decibelskalan. Den naturliga logaritmen $\ln(x) = \log_e(x)$ har basen $e \approx 2{,}718$ och är fundamental inom matematik och naturvetenskap. Sambandet $\ln(e^x) = x$ och $e^{\ln x} = x$ gäller.

Exempel:

1 $\lg(100) = 2$ och $\lg(0{,}01) = -2$
2 $\ln(e) = 1$ och $\ln(e^3) = 3$
3 $\ln(1) = 0$ (gäller alla logaritmer: $\log_b(1) = 0$ )
4 $\lg(2) \approx 0{,}301$ , $\lg(5) \approx 0{,}699$ , $\lg(2) + \lg(5) = \lg(10) = 1$

Ekvationer med logaritmer

Logaritmiska ekvationer löses genom att skriva om till exponentiell form eller använda logaritmlagarna. Grundprincipen: om $\log_b(A) = \log_b(B)$ så är $A = B$ . Tänk på definitionsmängden – argumentet i en logaritm måste vara positivt. Kontrollera alltid dina svar!

Exempel:

1 $\lg(x) = 3 \Rightarrow x = 10^3 = 1000$
2 $\log_2(x-1) = 4 \Rightarrow x - 1 = 2^4 = 16 \Rightarrow x = 17$
3 $\lg(x) + \lg(x+3) = 1 \Rightarrow \lg(x(x+3)) = 1 \Rightarrow x^2 + 3x = 10 \Rightarrow x = 2$ (kassera $x = -5$ )
4 $2\ln(x) = \ln(9) \Rightarrow \ln(x^2) = \ln(9) \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = 3$ (kassera $x = -3$ )

Exponentiella ekvationer

Exponentiella ekvationer, där den okända finns i exponenten, löses genom att logaritmera båda leden. Använd $\lg$ eller $\ln$ beroende på sammanhanget. Formeln $b^x = a \Rightarrow x = \frac{\log a}{\log b}$ gäller för alla baser.

Exempel:

1 $2^x = 32 \Rightarrow x = \log_2(32) = 5$
2 $3^x = 20 \Rightarrow x = \frac{\lg 20}{\lg 3} \approx \frac{1{,}301}{0{,}477} \approx 2{,}73$
3 $5 \cdot 2^x = 80 \Rightarrow 2^x = 16 \Rightarrow x = 4$
4 $e^{2x} = 7 \Rightarrow 2x = \ln 7 \Rightarrow x = \frac{\ln 7}{2} \approx 0{,}97$

Logaritmer

Viktiga punkter

Vad är en logaritm?

Exempel:

Logaritmlagarna

Exempel:

Tiologaritmen (lg) och naturliga logaritmen (ln)

Exempel:

Ekvationer med logaritmer

Exempel:

Exponentiella ekvationer

Exempel:

Ladda ner logaritmer-övningar som PDF

Skapa egna logaritmer-prov med AI

Öva logaritmer

Matematik per årskurs

Relaterade ämnen