Alla nivåerÅk 8–9, Gymnasiet

Kvadratrötter

Kvadratroten $\sqrt{a}$ är det positiva tal som multiplicerat med sig självt ger $a$ . Alltså: om $\sqrt{a} = b$ , då är $b^2 = a$ . Kvadratroten är endast definierad för $a \geq 0$ (inom reella tal).

💡 Viktiga punkter

✓ $\sqrt{a}$ är det positiva tal vars kvadrat är $a$
✓ $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$
✓Förenkla: bryt ut största kvadratfaktor
✓Endast 'lika' rötter kan adderas
✓ $\sqrt{a}$ är odefinierad för $a < 0$ (reellt)

Definition

Kvadratroten av $a$ skrivs $\sqrt{a}$ och är det positiva tal $b$ sådant att $b^2 = a$ . Observera att $\sqrt{a}$ alltid är positiv eller noll (principalroten).

📝 Exempel:

1 $\sqrt{9} = 3$ eftersom $3^2 = 9$
2 $\sqrt{25} = 5$ eftersom $5^2 = 25$
3 $\sqrt{0} = 0$
4 $\sqrt{2} \approx 1{,}414...$ (irrationellt tal)

Rotlagar

Viktiga rotlagar för att räkna med kvadratrötter: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ och $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ (för $a, b \geq 0$ , $b \neq 0$ ).

📝 Exempel:

1 $\sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6$
2 $\sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}} = \frac{4}{5}$
3 $\sqrt{a^2} = |a|$ (absolutbelopp)
4 $(\sqrt{a})^2 = a$ för $a \geq 0$

Förenkla rotuttryck

Bryt ut kvadrattal från roten: $\sqrt{a \cdot b^2} = b\sqrt{a}$ . Leta efter den största kvadratfaktor som går att bryta ut.

📝 Exempel:

1 $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$
2 $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$
3 $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$
4 $\sqrt{x^2 \cdot y} = x\sqrt{y}$ (för $x \geq 0$ )

Addera och subtrahera rötter

Man kan bara addera/subtrahera 'lika' rötter: $a\sqrt{c} + b\sqrt{c} = (a+b)\sqrt{c}$ . Olika rotuttryck kan inte förenklas vidare.

📝 Exempel:

1 $3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$
2 $\sqrt{8} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} + \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$
3 $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ kan INTE förenklas
4 $\sqrt{12} - \sqrt{3} = 2\sqrt{3} - \sqrt{3} = \sqrt{3}$

Träna på kvadratrötter

Generera obegränsade matteövningar på kvadratrötter med automatisk PDF-export och facit. Anpassat efter Lgr22!

Generera övningar (PDF + facit)

Relaterade ämnen

Exponenter →Pythagoras sats →Andragradsekvationer →