En ekvation är som en våg i balans: det som står till vänster om likhetstecknet är lika mycket värt som det som står till höger. Att lösa en ekvation betyder att ta reda på vilket värde x måste ha för att balansen ska stämma. Här går vi steg för steg från enkla ekvationer till ekvationer med parenteser, bråk och x på båda sidor – med lösta exempel och övningar för åk 7–9.
Kort svar: Gör samma sak på båda sidor av likhetstecknet tills x står ensamt. Förenkla först (multiplicera in parenteser), samla x-termerna på en sida och talen på den andra, dividera med talet framför x och kontrollera svaret genom att sätta in det i den ursprungliga ekvationen.
Balansmetoden – den enda regel du behöver
Allt du gör på ena sidan av likhetstecknet måste du göra på den andra. Du får addera, subtrahera, multiplicera och dividera med samma tal på båda sidor (men inte dividera med noll). Då är vågen fortfarande i balans och ekvationen har samma lösning.
Steg för steg
- Steg 1: Förenkla varje sida – multiplicera in parenteser och slå ihop termer av samma slag
- Steg 2: Samla alla x-termer på en sida
- Steg 3: Samla alla tal på den andra sidan
- Steg 4: Dividera med talet framför x
- Steg 5: Kontrollera genom att sätta in svaret i den ursprungliga ekvationen
Lösta exempel
Exempel 1: x + 7 = 15
- Subtrahera 7 på båda sidor: x = 15 − 7
- x = 8
- Kontroll: 8 + 7 = 15. Stämmer.
Exempel 2: 5x = 35
- 5x betyder 5 · x. Dividera båda sidor med 5: x = 35 / 5
- x = 7
Exempel 3: 3x − 4 = 11
- Addera 4 på båda sidor: 3x = 15
- Dividera med 3: x = 5
- Kontroll: 3 · 5 − 4 = 11. Stämmer.
Exempel 4: x på båda sidor – 7x + 2 = 3x + 18
- Subtrahera 3x på båda sidor: 4x + 2 = 18
- Subtrahera 2: 4x = 16
- Dividera med 4: x = 4
- Kontroll: vänster led 7 · 4 + 2 = 30 och höger led 3 · 4 + 18 = 30. Stämmer.
Tips: flytta x-termerna till den sida där det redan finns flest x, så slipper du negativa koefficienter.
Exempel 5: negativ koefficient – 5 − 2x = 11
- Subtrahera 5: −2x = 6
- Dividera med −2: x = −3
- Kontroll: 5 − 2 · (−3) = 5 + 6 = 11. Stämmer.
Exempel 6: parenteser – 2(x + 5) = 3x − 1
- Multiplicera in parentesen: 2x + 10 = 3x − 1
- Subtrahera 2x: 10 = x − 1
- Addera 1: x = 11
- Kontroll: 2 · (11 + 5) = 32 och 3 · 11 − 1 = 32. Stämmer.
Mer träning finns på ekvationer med parenteser.
Exempel 7: bråk – x/3 + x/2 = 10
- Multiplicera alla termer med 6 (minsta gemensamma nämnare) för att bli av med bråken: 2x + 3x = 60
- Slå ihop: 5x = 60
- Dividera med 5: x = 12
- Kontroll: 12/3 + 12/2 = 4 + 6 = 10. Stämmer.
Se fler exempel på ekvationer med bråk.
Exempel 8: textuppgift
Tre kompisar köper var sin biobiljett och delar på popcorn för 50 kr. Totalt betalar de 410 kr. Vad kostar en biljett?
- Låt x vara priset för en biljett
- Ställ upp ekvationen: 3x + 50 = 410
- Subtrahera 50: 3x = 360
- Dividera med 3: x = 120
- Svar: En biljett kostar 120 kr.
Det svåraste i textuppgifter är ofta att ställa upp ekvationen. Skriv alltid ut vad x står för – det ger tydligare lösningar och poäng för resonemanget på prov.
Exempel 9 (åk 9): x² = 49
- Vilket tal gånger sig självt blir 49? Både 7 · 7 och (−7) · (−7) blir 49
- x = 7 eller x = −7
Vanliga fel – och hur du undviker dem
- Teckenfel: 5 − x = 2 ger x = 3, inte −3. Kontrollera alltid genom insättning.
- Parentesfel: 3(x + 4) är 3x + 12, inte 3x + 4. Multiplicera in i alla termer.
- Gör bara på en sida: allt du gör måste göras på båda sidor – och på hela sidan, inte bara en term.
- Fel räkneordning: i 3x − 4 = 11 ska du först ta bort −4 och sedan dividera med 3. Se prioriteringsregler.
Övningsuppgifter
- x + 9 = 23
- 4x = 52
- 6x − 5 = 31
- 5x + 3 = 2x + 21
- 3(x − 2) = 15
- x/5 − 1 = 3
- 10 − 3x = 1
Svar: 1) x = 14, 2) x = 13, 3) x = 6, 4) x = 6, 5) x = 7, 6) x = 20, 7) x = 3
Ekvationer i olika årskurser
- Åk 6: enkla ekvationer där man hittar det okända talet – se ekvationer åk 6
- Åk 7: ekvationer med en okänd, balansmetoden och textuppgifter – se ekvationer åk 7 och ekvationer steg för steg
- Åk 8: parenteser, bråk och x på båda sidor – se ekvationer åk 8
- Åk 9: mer komplexa ekvationer, enkla ekvationer med x² och problemlösning – se ekvationer åk 9 och ekvationssystem
Ekvationer brukar finnas med på nationella provet i åk 9. Träna på algebra inför nationella provet och läs mer på nationella prov i matematik. Hela kursen finns på matematik åk 7, matematik åk 8 och matematik åk 9.
Läs också: Så pluggar du inför nationella provet i matte och Vad krävs för E på nationella provet i matte åk 9? Vill du ha fler ekvationer på rätt nivå med facit kan du skapa ett övningsprov i MathQuizily.
Slutsats
Sammanfattning: gör samma sak på båda sidor, förenkla först, samla x på en sida och tal på den andra, dividera och kontrollera alltid svaret genom insättning.
