Primtal

Ett primtal är ett naturligt tal större än $1$ som bara har två delare: $1$ och talet självt. Om ett tal har fler än två delare kallas det ett sammansatt tal. Talet $1$ är varken primtal eller sammansatt – det är en speciell kategori. Det minsta primtalet är $2$ och det är också det enda jämna primtalet (alla andra jämna tal är delbara med $2$).

Det finns $25$ primtal under $100$. Att lära sig dessa ger en bra grund för att snabbt avgöra om ett tal är ett primtal. De är: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97$. Notera att primtalen blir glesare ju längre ut man kommer på tallinjen.

Eratosthenes såll är en klassisk metod för att hitta alla primtal upp till ett givet tal. Skriv alla tal från $2$ till $n$. Börja med $2$: stryk alla multipler av $2$ (utom $2$ själv). Gå till nästa ej strukna tal ($3$) och stryk alla multipler av $3$. Fortsätt med $5$, $7$, osv. De tal som inte blivit strukna är primtal. Du behöver bara sålla upp till $\sqrt{n}$.

Varje heltal större än $1$ kan skrivas som en unik produkt av primtal – detta kallas aritmetikens fundamentalsats. Primtalsfaktorisering innebär att man bryter ner ett tal i dess primtalsfaktorer. Man delar talet upprepade gånger med det minsta möjliga primtalet tills kvoten är $1$. Metoden kallas ofta "faktorträd".

Primtal har en central roll i matematik och teknik. De används i kryptografi (t.ex. RSA-kryptering som skyddar internet-trafik) där säkerheten bygger på att det är svårt att faktorisera stora tal. Primtal ligger också till grund för begrepp som GCD (största gemensamma delare) och LCM (minsta gemensamma multipel), som är viktiga vid bråkräkning.