Alla nivåerÅk 8–9, Gymnasiet

Faktorisering

Faktorisering innebär att skriva ett uttryck som en produkt av faktorer. Det är motsatsen till att multiplicera parenteser. Faktorisering används för att förenkla uttryck och lösa ekvationer.

💡 Viktiga punkter

✓Bryt ut gemensam faktor först
✓Konjugatregeln: $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
✓Andragrad: hitta summa och produkt
✓Kontrollera genom att multiplicera tillbaka
✓Faktorisering hjälper vid ekvationslösning

Bryta ut gemensam faktor

Hitta den största gemensamma faktorn (SGF) i alla termer och bryt ut den framför en parentes. Det som blir kvar i parentesen är kvoten av varje term och SGF.

📝 Exempel:

1 $6x + 9 = 3(2x + 3)$ – SGF är 3
2 $4x^2 + 8x = 4x(x + 2)$ – SGF är $4x$
3 $15a^2b - 10ab^2 = 5ab(3a - 2b)$
4 $x^3 + x^2 = x^2(x + 1)$

Konjugatregeln

Skillnaden mellan två kvadrater faktoriseras som: $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ . Detta kallas konjugatregeln.

📝 Exempel:

1 $x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)$
2 $4x^2 - 25 = (2x + 5)(2x - 5)$
3 $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
4 $x^4 - 1 = (x^2 + 1)(x^2 - 1) = (x^2 + 1)(x + 1)(x - 1)$

Faktorisera andragradsuttryck

För $x^2 + px + q$ , hitta två tal vars summa är $p$ och produkt är $q$ . Då gäller: $x^2 + px + q = (x + x_1)(x + x_2)$ där $x_1 + x_2 = p$ och $x_1 \cdot x_2 = q$ .

📝 Exempel:

1 $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$ – summa 5, produkt 6
2 $x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)$ – summa -7, produkt 12
3 $x^2 + 2x - 15 = (x + 5)(x - 3)$ – summa 2, produkt -15
4 $x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$

Kvadreringsreglerna

Känna igen kvadratuttryck: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ och $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ . Dessa kan faktoriseras tillbaka.

📝 Exempel:

1 $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$
2 $x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2$
3 $4x^2 + 4x + 1 = (2x + 1)^2$
4 $9a^2 - 12ab + 4b^2 = (3a - 2b)^2$

Träna på faktorisering

Generera obegränsade matteövningar på faktorisering med automatisk PDF-export och facit. Anpassat efter Lgr22!

Generera övningar (PDF + facit)

Relaterade ämnen

Algebraiska uttryck →Andragradsekvationer →Exponenter →