Alla nivåerÅk 9, Gymnasiet Ma 1–2

Andragradsekvationer

En andragradsekvation är en ekvation där den högsta potensen av den okända är 2, alltså $x^2$ . Standardformen är $ax^2 + bx + c = 0$ . En andragradsekvation kan ha två lösningar, en lösning (dubbelrot) eller inga reella lösningar.

💡 Viktiga punkter

✓Standardform: $ax^2 + bx + c = 0$
✓pq-formeln: $x = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$
✓Diskriminanten avgör antalet lösningar
✓Faktorisering: $(x - x_1)(x - x_2) = 0$
✓Kontrollera alltid lösningarna!

Standardform

Andragradsekvationer skrivs på standardformen $ax^2 + bx + c = 0$ , där $a \neq 0$ . Om $a = 1$ får vi den förenklade formen $x^2 + px + q = 0$ som används med pq-formeln.

📝 Exempel:

1 $x^2 + 5x + 6 = 0$ (standardform med $a = 1$ )
2 $2x^2 - 3x - 2 = 0$ (standardform med $a = 2$ )
3 $x^2 - 9 = 0$ (saknar $x$ -term, $b = 0$ )
4 $x^2 + 4x = 0$ (saknar konstant, $c = 0$ )

pq-formeln

För ekvationer på formen $x^2 + px + q = 0$ används pq-formeln:

x = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}

📝 Exempel:

1 $x^2 + 6x + 5 = 0 \Rightarrow p = 6, q = 5$
2 $x = -3 \pm \sqrt{9 - 5} = -3 \pm 2$
3 $x_1 = -3 + 2 = -1$ , $x_2 = -3 - 2 = -5$
4Kontroll: $(-1)^2 + 6(-1) + 5 = 1 - 6 + 5 = 0$ ✓

Diskriminanten

Uttrycket under rottecknet kallas diskriminanten: $D = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q$ . Den avgör antalet lösningar: $D > 0$ ger två lösningar, $D = 0$ ger en dubbelrot, $D < 0$ ger inga reella lösningar.

📝 Exempel:

1 $D > 0$ : Två olika lösningar ( $\sqrt{D}$ är ett positivt tal)
2 $D = 0$ : En lösning (dubbelrot), $x = -\frac{p}{2}$
3 $D < 0$ : Inga reella lösningar (kan inte ta roten ur negativt tal)
4Exempel: $x^2 + 2x + 5 = 0 \Rightarrow D = 1 - 5 = -4 < 0$ (inga lösningar)

Faktorisering

Om ekvationen kan faktoriseras som $(x - x_1)(x - x_2) = 0$ , är lösningarna $x_1$ och $x_2$ (nollproduktmetoden). Detta fungerar bäst när lösningarna är hela tal.

📝 Exempel:

1 $x^2 + 5x + 6 = 0 \Rightarrow (x + 2)(x + 3) = 0$
2 $x + 2 = 0$ eller $x + 3 = 0$
3 $x = -2$ eller $x = -3$
4Hitta två tal med summa $p$ och produkt $q$

Träna på andragradsekvationer

Generera obegränsade matteövningar på andragradsekvationer med automatisk PDF-export och facit. Anpassat efter Lgr22!

Generera övningar (PDF + facit)

Relaterade ämnen

pq-formeln →Andragradsfunktioner →Faktorisering →