Årskurs 9

Reella tal, potenser, rötter och grundpotensform. Förberedelse för gymnasiet.

• •Reella tal: $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$ (rationella och irrationella)
• •Irrationella tal: $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\pi$, $e$ (kan ej skrivas som bråk)
• •Bevis: $\sqrt{2}$ är irrationellt (motsägelsebevis)
• •Potensregler: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, $(ab)^n = a^n b^n$
• •Potensregler: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$
• •Rationella exponenter: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$
• •Exempel: $27^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9$
• •Negativa exponenter: $3^{-2} = \frac{1}{9}$, $(\frac{2}{3})^{-1} = \frac{3}{2}$
• •Grundpotensform: $6{,}02 \times 10^{23}$ (Avogadros tal)
• •Små tal: $1{,}6 \times 10^{-19}$ C (elektronens laddning)
• •Beräkning: $(3 \times 10^8)^2 = 9 \times 10^{16}$
• •Förenkla rötter: $\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$
• •Addera rötter: $2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = 7\sqrt{3}$
• •Multiplicera: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4$
• •Rationalisera: $\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$
• •Rationalisera: $\frac{1}{\sqrt{5} + 2} = \frac{\sqrt{5} - 2}{(\sqrt{5})^2 - 4} = \sqrt{5} - 2$

Andragradsekvationer, ekvationssystem, funktioner och programmering. Tips: 'Algebramåndagar' med 50-60 min fokuserad träning – viktigt inför nationella provet!

• •📅 VECKA 1-6: Algebraiska uttryck – repetition och fördjupning
• •Faktorisera: $x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)$
• •Faktorisera: $2x^2 - 8 = 2(x^2 - 4) = 2(x + 2)(x - 2)$
• •Faktorisera: $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$
• •Förkorta: $\frac{x^2 - 4}{x + 2} = \frac{(x+2)(x-2)}{x+2} = x - 2$ (om $x \neq -2$)
• •📅 VECKA 7-14: Andragradsekvationer
• •Standardform: $ax^2 + bx + c = 0$
• •Faktorisering: $x^2 - 5x + 6 = 0 \Rightarrow (x-2)(x-3) = 0 \Rightarrow x = 2$ eller $x = 3$
• •Pq-formeln: $x^2 + px + q = 0 \Rightarrow x = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}$
• •Abc-formeln: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
• •Diskriminant: $D = b^2 - 4ac$ avgör antal lösningar
• •$D > 0$: två lösningar, $D = 0$: en lösning, $D < 0$: inga reella lösningar
• •Exempel: $2x^2 - 4x - 6 = 0 \Rightarrow x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{4} = \frac{4 \pm 8}{4}$
• •Lösningar: $x_1 = 3$, $x_2 = -1$
• •📅 VECKA 15-22: Ekvationssystem
• •Substitution: $\begin{cases} y = 3x - 2 \\ 2x + y = 8 \end{cases}$ → $2x + 3x - 2 = 8$
• •Addition: $\begin{cases} 3x + 2y = 7 \\ 2x - 2y = 3 \end{cases}$ → $5x = 10$
• •Grafisk lösning: Skärningspunkt mellan linjerna
• •System med andragrad: $\begin{cases} y = x^2 \\ y = 2x + 3 \end{cases}$
• •Lösning: $x^2 = 2x + 3 \Rightarrow x^2 - 2x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$ eller $x = -1$
• •📅 VECKA 23-30: Funktioner
• •Linjär funktion: $f(x) = kx + m$, konstant förändringstakt $k$
• •Andragradsfunktion: $f(x) = ax^2 + bx + c$, parabel
• •Vertex: $x_v = -\frac{b}{2a}$, $y_v = f(x_v)$
• •Exempel: $f(x) = x^2 - 4x + 3$ har vertex vid $(2, -1)$
• •Nollställen: Lös $f(x) = 0$
• •Definitions- och värdemängd: $D_f$ och $V_f$
• •Sammansatt funktion: $(f \circ g)(x) = f(g(x))$
• •📅 VECKA 31-38: Mönster och programmering
• •Talföljd: Hitta explicit formel från mönster
• •Summor: $1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$
• •Python: Loopar, villkor, funktioner
• •Algoritm: Newton-Raphsons metod för ekvationslösning
• •📅 VECKA 39-40: Repetition inför NP
• •💡 TIPS: Gör gamla nationella prov – de visar exakt vad som förväntas!

Geometriska satser, Pythagoras, likformighet, area och volym.

• •Pythagoras sats: $a^2 + b^2 = c^2$ (rätvinklig triangel)
• •Omvänd Pythagoras: Om $a^2 + b^2 = c^2$ är triangeln rätvinklig
• •3D-diagonal: $d = \sqrt{l^2 + b^2 + h^2}$
• •Exempel: Rätblock $3 \times 4 \times 12$: $d = \sqrt{9 + 16 + 144} = 13$
• •Cirkelns area: $A = \pi r^2$
• •Cirkelsektor: $A = \frac{v}{360°} \cdot \pi r^2$, $b = \frac{v}{360°} \cdot 2\pi r$
• •Cirkelns båglängd: $120°$ av cirkel $r = 6$: $b = \frac{120}{360} \cdot 2\pi \cdot 6 = 4\pi$
• •Volym cylinder: $V = \pi r^2 h$
• •Volym kon: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$
• •Volym klot: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$
• •Klotets area: $A = 4\pi r^2$
• •Mantelarea kon: $M = \pi r s$ (s = sidhöjd)
• •Totalarea kon: $A = \pi r^2 + \pi rs = \pi r(r + s)$
• •Likformighet: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = k$
• •Areaskala: Om sidor $k$ gånger större, area $k^2$ gånger större
• •Volymskala: Om sidor $k$ gånger större, volym $k^3$ gånger större
• •Randvinkelsatsen: Randvinkel = halva medelpunktsvinkeln
• •Tangent till cirkel: Vinkelrät mot radien i tangeringspunkten

Sannolikhet, kombinatorik, lägesmått och spridningsmått.

• •Sannolikhet: $P(A) = \frac{\text{gynnsamma utfall}}{\text{alla utfall}}$
• •Komplementhändelse: $P(A') = 1 - P(A)$
• •Additionssatsen: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
• •Oberoende: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$
• •Beroende: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$
• •Träddiagram: Multiplicera längs grenar, addera mellan grenar
• •Kombinatorik: $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
• •Permutation: Ordnade val: $\frac{n!}{(n-k)!}$
• •Exempel: Lotteri med 7 av 35: $\binom{35}{7} = 6\,724\,520$ kombinationer
• •Medelvärde: $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$
• •Viktad medelvärde: $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$
• •Median: 50:e percentilen, delar datamängden i två lika delar
• •Kvartiler: $Q_1$ (25%), $Q_2$ = median (50%), $Q_3$ (75%)
• •Kvartilavstånd: $IQR = Q_3 - Q_1$
• •Standardavvikelse: $\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}}$
• •Tolka standardavvikelse: Låg $\sigma$ = tätt kring medel, hög $\sigma$ = spritt
• •Lådagram: Visar min, $Q_1$, median, $Q_3$, max, samt extremvärden

Procentberäkningar, förändringsfaktor, ränta och exponentiell tillväxt.

• •Tre procentproblem: Andel, del, helhet
• •Andel: $\frac{45}{180} = 0{,}25 = 25\%$
• •Del: $35\%$ av $240 = 0{,}35 \times 240 = 84$
• •Helhet: $15\%$ är $60$ → $100\% = \frac{60}{0{,}15} = 400$
• •Förändringsfaktor ökning: $+r\%$ → faktor $1 + \frac{r}{100}$
• •Förändringsfaktor minskning: $-r\%$ → faktor $1 - \frac{r}{100}$
• •Procentuell förändring: $\frac{\text{nytt} - \text{gammalt}}{\text{gammalt}} \times 100\%$
• •Sammansatt ränta: $K = K_0(1 + r)^n$
• •Exempel: $5000$ kr, $4\%$ ränta, $10$ år: $K = 5000 \cdot 1{,}04^{10} \approx 7401$ kr
• •Exponentiell tillväxt: $N(t) = N_0 \cdot a^t$ där $a > 1$
• •Exponentiellt avtagande: $N(t) = N_0 \cdot a^t$ där $0 < a < 1$
• •Halveringstid: $N = N_0 \cdot 0{,}5^{t/T}$ där $T$ = halveringstid
• •Dubbleringstid: Löst $2 = 1{,}05^n$ → $n = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}05} \approx 14$ år
• •Tumregel: År till dubblering $\approx \frac{72}{r\%}$
• •Baklänges: $K_0 = \frac{K}{(1+r)^n}$ (nuvärde)

Tabeller, diagram, dataanalys och kritisk granskning.

• •Stapeldiagram: Jämför kategorier
• •Histogram: Visar fördelning av kontinuerlig data
• •Cirkeldiagram: Visar andelar (procent) av helhet
• •Linjediagram: Visar förändring över tid
• •Punktdiagram (scatter plot): Visar samband mellan två variabler
• •Korrelation: Positivt, negativt eller inget samband
• •Regressionsanalys intro: Bästa anpassade linje
• •Vilseledande statistik: Avkapade axlar, olämplig skala
• •Kritisk granskning: Urval, källa, presentation
• •Relativ frekvens: $f_r = \frac{\text{antal}}{\text{totalt}}$
• •Kumulativ frekvens: Summerad frekvens upp till värdet

Linjära och icke-linjära funktioner, grafisk lösning.

• •Linjär funktion: $f(x) = kx + m$
• •$k$ = lutning = förändringstakt: $k = \frac{\Delta y}{\Delta x}$
• •$m$ = y-axelns skärningspunkt
• •Andragradsfunktion: $f(x) = ax^2 + bx + c$
• •Parabel: Öppning uppåt om $a > 0$, nedåt om $a < 0$
• •Symmetrilinje: $x = -\frac{b}{2a}$
• •Vertex: Minimi- eller maximipunkt
• •Nollställen: Lös $ax^2 + bx + c = 0$
• •Grafisk lösning ekvation: Rita $y = f(x)$, hitta $x$ där $y = 0$
• •Grafisk lösning system: Hitta skärningspunkt
• •Exponentialfunktion intro: $f(x) = a^x$
• •Funktionsvärde: $f(3)$ = värdet där $x = 3$
• •Invers funktion intro: Om $f(2) = 5$, då $f^{-1}(5) = 2$

Strategier, matematiska modeller och resonemang. Förberedelse för nationella provet.

• •Pólyas modell: Förstå, Planera, Genomför, Återblicka
• •Algebraisk modell: Översätt text till ekvation/system
• •Exempel: 'Biljetterna kostade 1200 kr. Vuxen 150 kr, barn 75 kr. 10 personer åkte.'
• •Modell: $\begin{cases} v + b = 10 \\ 150v + 75b = 1200 \end{cases}$
• •Lösning: $v = 6$ vuxna, $b = 4$ barn
• •Geometrisk modell: Maximera area med given omkrets
• •Exempel: Staket 100 m ska inhägna rektangel. Max area?
• •Modell: $A = x(50 - x) = -x^2 + 50x$, max vid $x = 25$ → $A = 625$ m²
• •Procentmodell: 'Rea 30% sedan ytterligare 20%. Total rabatt?'
• •Lösning: $0{,}70 \times 0{,}80 = 0{,}56$ → $44\%$ total rabatt (inte $50\%$!)
• •Hastighetsproblem: Medelhastighet ≠ medel av hastigheter
• •Optimeringsproblem: Hitta max/min med parabelns vertex
• •Matematiskt resonemang: Argumentera för din lösning
• •Generalisera: Hitta allmän formel eller regel
• •Bevisa: Visa att påståendet alltid gäller
• •💡 NATIONELLA PROVET: Öva på gamla NP och fokusera på problemlösning!