Årskurs 6

Rationella tal inklusive negativa tal. Sambandet mellan bråk, decimal och procent. Beräkningar med alla räknesätt. Förberedelse för högstadiet.

• •Räkna med negativa tal: $(-5) + 8 = 3$, $(-3) - 7 = -10$
• •Multiplikation negativa: $(-4) \times 3 = -12$, $(-5) \times (-2) = 10$
• •Division negativa: $(-20) \div 4 = -5$, $(-15) \div (-3) = 5$
• •Teckens regler: Minus gånger minus ger plus, minus gånger plus ger minus
• •Bråk, decimal, procent: $\frac{7}{8} = 0{,}875 = 87{,}5\%$
• •Periodiska decimaltal: $\frac{1}{3} = 0{,}333... = 0{,}\overline{3}$
• •Procentuella förändringar: Ökning $15\%$ → faktor $1{,}15$
• •Flera procentändringar: $100 \times 1{,}10 \times 1{,}10 = 121$ ($10\%$ ökning två gånger)
• •Hitta ursprungligt värde: Efter $25\%$ rabatt: $150$ kr. Ursprungspris?
• •Lösning: $0{,}75 \times x = 150 \Rightarrow x = 200$ kr
• •Potenser: $2^6 = 64$, $3^4 = 81$, $5^3 = 125$
• •Potensregler: $2^3 \times 2^4 = 2^{7} = 128$
• •Tiopotenser: $4{,}5 \times 10^5 = 450\,000$
• •Kvadratrot: $\sqrt{49} = 7$, $\sqrt{144} = 12$, $\sqrt{2} \approx 1{,}41$
• •SGD och MGN: SGD$(24, 36) = 12$, MGN$(24, 36) = 72$
• •Primtalsfaktorisering: $180 = 2^2 \times 3^2 \times 5$
• •Delbarhet 6: Delbart med både 2 och 3
• •Delbarhet 9: Siffersumman delbar med 9

Variabler i algebraiska uttryck och ekvationer. Metoder för att lösa ekvationer. Mönster och programmering. Tips: Avsätt 'Algebramåndagar' med 45-50 minuter fokuserad träning varje vecka!

• •📅 VECKA 1-6: Förenkla uttryck
• •Samla termer: $5x + 3 - 2x + 7 = 3x + 10$
• •Distributiva lagen: $3(2x + 4) = 6x + 12$
• •Flera parenteser: $2(x + 3) + 4(x - 1) = 2x + 6 + 4x - 4 = 6x + 2$
• •Minus framför parentes: $5 - (2x - 3) = 5 - 2x + 3 = 8 - 2x$
• •Faktorisera (intro): $6x + 9 = 3(2x + 3)$
• •📅 VECKA 7-14: Ekvationslösning
• •Ekvation: $4x - 7 = 2x + 9 \Rightarrow 2x = 16 \Rightarrow x = 8$
• •Ekvation med bråk: $\frac{x}{5} = 8 \Rightarrow x = 40$
• •Ekvation med bråk: $\frac{2x + 1}{3} = 5 \Rightarrow 2x + 1 = 15 \Rightarrow x = 7$
• •Ekvation med parentes: $3(x - 2) = 2(x + 4) \Rightarrow 3x - 6 = 2x + 8 \Rightarrow x = 14$
• •Prova lösningen: $3(14-2) = 36$ och $2(14+4) = 36$ ✓
• •📅 VECKA 15-20: Olikheter (intro)
• •Olikhet: $x + 3 > 7 \Rightarrow x > 4$ (alla tal större än 4)
• •Olikhet: $2x \leq 10 \Rightarrow x \leq 5$
• •Olikhet på tallinje: $x > 2$ visas med öppen cirkel vid 2, pil åt höger
• •OBS! Vid multiplikation/division med negativt tal: Vänd olikhetstecknet!
• •📅 VECKA 21-28: Formler och samband
• •Ställ upp formel: 'Tre gånger ett tal minskat med 5' → $3x - 5$
• •Formel för omkrets: Rektangel $O = 2(l + b)$. Om $O = 30$ och $l = 9$, vad är $b$?
• •Lösning: $30 = 2(9 + b) \Rightarrow 15 = 9 + b \Rightarrow b = 6$
• •Formel för hastighet: $v = \frac{s}{t}$. Om $v = 80$ km/h och $t = 2{,}5$ h, då $s = 200$ km
• •Funktionstänkande: $f(x) = 2x + 1$ → $f(3) = 7$, $f(-2) = -3$
• •📅 VECKA 29-36: Mönster och talföljder
• •Rekursiv formel: $a_1 = 2$, $a_{n+1} = a_n + 5$ → $2, 7, 12, 17, ...$
• •Explicit formel: $a_n = 5n - 3$ → $a_1 = 2$, $a_2 = 7$, $a_{10} = 47$
• •Fibonacciföljden: $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...$ (varje tal = summa av två föregående)
• •Triangeltal: $1, 3, 6, 10, 15, ...$ formel: $T_n = \frac{n(n+1)}{2}$
• •Kvadrattal: $1, 4, 9, 16, 25, ...$ formel: $K_n = n^2$
• •📅 VECKA 37-40: Programmering och avslut
• •Algoritm: Sekventering, selektion (villkor), iteration (loopar)
• •Scratch projekt: Spel med variabler, loopar och villkor
• •Funktioner i kod: Definiera och anropa egna funktioner
• •Felsökning: Hitta och rätta buggar i kod
• •💡 TIPS: Starta varje algebralektion med en 'snabb-ekvation' för uppvärmning!

Avancerad bråkräkning med alla fyra räknesätten. Förberedelse för högstadiet.

• •Addition: $\frac{3}{4} + \frac{5}{6} = \frac{9}{12} + \frac{10}{12} = \frac{19}{12} = 1\frac{7}{12}$
• •Subtraktion: $2\frac{1}{3} - \frac{5}{6} = \frac{7}{3} - \frac{5}{6} = \frac{14}{6} - \frac{5}{6} = \frac{9}{6} = 1\frac{1}{2}$
• •Multiplikation: $\frac{4}{5} \times \frac{15}{8} = \frac{60}{40} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$
• •Förkorta före multiplikation: $\frac{4}{5} \times \frac{15}{8} = \frac{1}{1} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$ (korsa 4/8 och 5/15)
• •Division: $\frac{7}{8} \div \frac{3}{4} = \frac{7}{8} \times \frac{4}{3} = \frac{28}{24} = \frac{7}{6}$
• •Blandade operationer: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
• •Bråk i ekvation: $\frac{2x}{3} = 10 \Rightarrow 2x = 30 \Rightarrow x = 15$
• •Negativa bråk: $-\frac{3}{4} + \frac{1}{2} = -\frac{3}{4} + \frac{2}{4} = -\frac{1}{4}$
• •Bråk och procent: $\frac{5}{8}$ av klassen $= 62{,}5\%$ av klassen

Geometriska objekt, mätning, area, volym, vinklar, skala och symmetri.

• •Cirkelns area: $A = \pi r^2$. Om $d = 14$ cm, då $r = 7$ → $A = 49\pi \approx 154$ cm²
• •Cirkelns omkrets: $O = 2\pi r = \pi d$. Om $d = 14$ → $O = 14\pi \approx 44$ cm
• •Cirkelsektor area: $A = \frac{\theta}{360°} \times \pi r^2$ (där $\theta$ är vinkeln)
• •Båglängd: $b = \frac{\theta}{360°} \times 2\pi r$
• •Pythagoras sats: $a^2 + b^2 = c^2$ i rätvinklig triangel
• •Pythagoras exempel: Kateter 5 och 12 → $c = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$
• •Pythagoras baklänges: $c = 10$, $a = 6$ → $b = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$
• •Volym prisma: $V = \text{basarea} \times h$
• •Volym cylinder: $V = \pi r^2 h$. Om $r = 5$, $h = 10$ → $V = 250\pi \approx 785$ cm³
• •Volym kon: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ (en tredjedel av cylindern)
• •Volym klot: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$. Om $r = 6$ → $V = 288\pi \approx 905$ cm³
• •Mantelarea cylinder: $M = 2\pi r h$
• •Totalarea cylinder: $A = 2\pi r^2 + 2\pi rh = 2\pi r(r + h)$
• •Vinkelsumma polygon: $(n-2) \times 180°$ (där $n$ = antal sidor)
• •Hexagon vinkelsumma: $(6-2) \times 180° = 720°$
• •Skala avancerad: Kartan $1:250\,000$ → $4$ cm på kartan $= 10$ km

Koordinatsystem, grafer och linjeära samband.

• •Linje: $y = kx + m$ där $k$ = lutning, $m$ = skärning med y-axeln
• •Bestäm lutning: Två punkter $(1, 3)$ och $(4, 9)$ → $k = \frac{9-3}{4-1} = 2$
• •Skriv ekvation: Lutning $2$, går genom $(1, 3)$ → $3 = 2(1) + m$ → $m = 1$ → $y = 2x + 1$
• •Skärningspunkt x-axel: $y = 0$ → lös $0 = 2x + 4$ → $x = -2$
• •Skärningspunkt y-axel: $x = 0$ → $y = m$ (konstanten)
• •Två linjer skär: $y = 2x + 1$ och $y = -x + 7$ → $2x + 1 = -x + 7$ → $x = 2$, $y = 5$
• •Parallella linjer: Samma lutning $k$, olika $m$
• •Vinkelräta linjer (intro): $k_1 \times k_2 = -1$
• •Proportionalitet i graf: Rät linje genom origo
• •Avläsa: 'När kostar det $60$ kr?' Hitta $x$ där $y = 60$ på grafen

Sannolikhet, kombinatorik, diagram och lägesmått. Förberedelse för högstadiet.

• •Sannolikhet: $0 \leq P(A) \leq 1$, $P(\text{säker}) = 1$, $P(\text{omöjlig}) = 0$
• •Komplementregel: $P(\text{inte A}) = 1 - P(A)$
• •Additionsregeln: $P(A \text{ eller } B) = P(A) + P(B)$ (om A och B uteslutande)
• •Multiplikationsregeln: $P(A \text{ och } B) = P(A) \times P(B)$ (oberoende)
• •Betingad sannolikhet intro: 'Givet att första är röd, vad är P(andra röd)?'
• •Träddiagram: Visa alla möjliga utfall och beräkna sannolikheter
• •Kombinatorik: Välja 3 av 8 (ordning spelar roll): $8 \times 7 \times 6 = 336$
• •Kombinatorik: Välja 3 av 8 (ordning ej roll): $\frac{336}{3!} = 56$
• •Medelvärde med frekvens: $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$
• •Medelvärde exempel: Värden 5,6,7 med frekvenser 3,5,2 → $\frac{15+30+14}{10} = 5{,}9$
• •Median udda antal: Mittersta värdet
• •Median jämnt antal: Medelvärde av de två mittersta
• •Variationsbredd: $x_{max} - x_{min}$
• •Vilseledande statistik: Diskutera hur diagram kan vara missvisande

Proportionalitet i olika former. Förberedelse för funktionsbegreppet.

• •Proportionalitet test: Är $\frac{y}{x}$ konstant? → proportionellt samband
• •Enhetspris: $4$ kg kostar $52$ kr → $1$ kg kostar $\frac{52}{4} = 13$ kr
• •Direkt proportionalitet: $y = kx$, graf är rät linje genom origo
• •Omvänd proportionalitet: $y = \frac{k}{x}$, när $x$ ökar minskar $y$
• •Omvänd exempel: Hastighet och tid för samma sträcka: $v \times t = s$
• •Procentändring: $\frac{\text{nytt} - \text{gammalt}}{\text{gammalt}} \times 100\%$
• •Förändringsfaktor: $+15\%$ → $1{,}15$, $-20\%$ → $0{,}80$
• •Upprepad förändring: $3$ års $5\%$ ränta: $1{,}05^3 \approx 1{,}158$ → $15{,}8\%$ total ökning
• •Skala och proportioner: Modell $1:24$ → verklig bil $4{,}8$ m, modell $20$ cm
• •Funktionsbegrepp intro: $f(x) = 3x - 2$ → 'maskin' som omvandlar x till y

Strategier för matematiska problem. Förberedelse för nationella prov och högstadiet.

• •Pólyas strategi: Förstå problemet, Gör en plan, Genomför planen, Återblicka
• •Algebraproblem: 'Siffersumman i ett tvåsiffrigt tal är 11. Byter man siffrorna får man 27 mer.'
• •Lösning: Talet $= 10a + b$, $a + b = 11$, $10b + a = 10a + b + 27$
• •Förenkla: $9b - 9a = 27$ → $b - a = 3$. Med $a + b = 11$: $a = 4$, $b = 7$. Talet = 47.
• •Geometriproblem: 'En rektangulär trädgård ska ha staket runt. 60 m staket finns. Max area?'
• •Lösning: $2l + 2b = 60$ → $l + b = 30$. Area $= l \times b = l(30-l)$ max när $l = 15$ → $A = 225$ m²
• •Procentproblem: 'Först höjdes priset 20\%, sedan sänktes det 20\%. Slutpris jämfört med start?'
• •Lösning: $100 \times 1{,}20 \times 0{,}80 = 96$ → $4\%$ lägre än start
• •Hastighetsproblem: 'Halva sträckan med 60 km/h, halva med 40 km/h. Medelhastighet?'
• •Lösning: Ej $(60+40)/2$! Om sträcka $= 120$ km: tid $= 1 + 1{,}5 = 2{,}5$ h → $v = 48$ km/h
• •Argumentera: Förklara ditt resonemang med matematiska termer
• •Generalisera: Kan du hitta en allmän formel eller regel?
• •Bevisa: Visa att påståendet alltid gäller (eller hitta motexempel)