Årskurs 5

Rationella tal inklusive negativa tal. Sambandet mellan bråk, decimal och procent. De fyra räknesätten med naturliga tal och enkla bråk- och decimaltal.

• •Negativa tal: $-8 + 5 = -3$, $-3 - 4 = -7$, $-2 + 7 = 5$
• •Negativa tal på tallinje: $-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5$
• •Absolutbelopp: $|-7| = 7$, $|5| = 5$ (avstånd från noll)
• •Decimaltal: $3{,}456 = 3 + \frac{4}{10} + \frac{5}{100} + \frac{6}{1000}$
• •Avrunda decimaler: $3{,}847 \approx 3{,}85$ (två decimaler), $\approx 3{,}8$ (en decimal)
• •Multiplikation decimaltal: $2{,}5 \times 3{,}4 = 8{,}50$
• •Division decimaltal: $7{,}5 \div 2{,}5 = 3$
• •Bråk till procent: $\frac{3}{4} = 0{,}75 = 75\%$
• •Procent till bråk: $40\% = \frac{40}{100} = \frac{2}{5}$
• •Procent av tal: $35\%$ av $240 = 0{,}35 \times 240 = 84$
• •Hitta helheten: $20\%$ av $x = 50$ → $x = 50 \div 0{,}2 = 250$
• •Procentökning: $450$ kr $+ 12\% = 450 \times 1{,}12 = 504$ kr
• •Procentminskning: $320$ kr $- 25\% = 320 \times 0{,}75 = 240$ kr
• •Prioriteringsregler: $2 + 3 \times 4^2 = 2 + 3 \times 16 = 2 + 48 = 50$
• •Potenser: $2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$
• •Tiopotenser: $10^3 = 1\,000$, $10^6 = 1\,000\,000$
• •Stora tal: $3{,}5 \times 10^6 = 3\,500\,000$
• •Delbarhet: Delbart med 3 om siffersumman är delbar med 3
• •Primtal: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...$
• •Primtalsfaktorisering: $60 = 2^2 \times 3 \times 5$
• •SGD (största gemensamma delare): SGD$(12, 18) = 6$
• •MGN (minsta gemensamma nämnare): MGN$(4, 6) = 12$

Variabler och deras användning i algebraiska uttryck och ekvationer. Metoder för att lösa ekvationer. Mönster i talföljder. Programmering. Tips: Inför 'Algebratisdagar' med 45 minuter fokuserad algebra!

• •📅 VECKA 1-6: Algebraiska uttryck
• •Uttryck med flera variabler: $3x + 2y$ där $x = 4$, $y = 5$ → $3(4) + 2(5) = 22$
• •Förenkla uttryck: $5x + 3x = 8x$ (addera lika termer)
• •Förenkla uttryck: $4a + 2b - a + 3b = 3a + 5b$
• •Multiplicera: $3 \cdot 2x = 6x$, $4 \cdot (x + 2) = 4x + 8$
• •Parentes: $(x + 3) + (2x - 1) = 3x + 2$
• •📅 VECKA 7-14: Ekvationer med en variabel
• •Ekvation: $5x - 8 = 17 \Rightarrow 5x = 25 \Rightarrow x = 5$
• •Ekvation: $\frac{x}{3} + 4 = 10 \Rightarrow \frac{x}{3} = 6 \Rightarrow x = 18$
• •Ekvation med parentes: $2(x + 3) = 16 \Rightarrow 2x + 6 = 16 \Rightarrow x = 5$
• •Variabel på båda sidor: $3x + 5 = x + 13 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x = 4$
• •Kontroll: $x = 4$: $3(4) + 5 = 17$ och $4 + 13 = 17$ ✓
• •📅 VECKA 15-22: Formler och samband
• •Formel: Rektangelns area $A = b \cdot h$. Om $b = 5$ och $A = 30$, vad är $h$?
• •Lösning: $30 = 5 \cdot h \Rightarrow h = 6$
• •Formel: $F = \frac{9}{5}C + 32$ (Celsius till Fahrenheit)
• •Hastighetsformel: $s = v \cdot t$ (sträcka = hastighet × tid)
• •Om lös ut: Från $A = b \cdot h$ får vi $h = \frac{A}{b}$
• •📅 VECKA 23-30: Talföljder och mönster
• •Aritmetisk följd: $a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$
• •Exempel: Första termen $a_1 = 3$, differens $d = 4$ → $3, 7, 11, 15, ...$
• •Term nummer 10: $a_{10} = 3 + (10-1) \cdot 4 = 3 + 36 = 39$
• •Geometrisk följd: $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$
• •Exempel: $a_1 = 2$, kvot $q = 3$ → $2, 6, 18, 54, 162, ...$
• •Figurtal: Kvadrattal $1, 4, 9, 16, 25, ...$ (formel: $n^2$)
• •📅 VECKA 31-38: Programmering
• •Scratch: Skapa program med variabler som räknar poäng
• •Algoritm: Euklides algoritm för SGD
• •Loop: FÖR n = 1 TILL 100: OM n delbart med 3, skriv 'Fizz'
• •Villkor: OM temperatur < 0 DÅ skriv 'Frost' ANNARS skriv 'Plusgrader'
• •Funktion: Definiera DUBBLA(x) = 2*x, använd: DUBBLA(7) = 14
• •📅 VECKA 39-40: Blandade utmaningar
• •💡 TIPS: Lös ett algebraproblem varje dag - små steg ger stora framsteg!

Avancerad bråkräkning med alla fyra räknesätten. Blandade tal och ofäkta bråk.

• •Addition: $\frac{2}{3} + \frac{3}{4} = \frac{8}{12} + \frac{9}{12} = \frac{17}{12} = 1\frac{5}{12}$
• •Subtraktion: $\frac{5}{6} - \frac{1}{4} = \frac{10}{12} - \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$
• •Multiplikation: $\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{8}{15}$
• •Multiplikation med heltal: $4 \times \frac{3}{7} = \frac{12}{7} = 1\frac{5}{7}$
• •Division: $\frac{3}{4} \div \frac{2}{5} = \frac{3}{4} \times \frac{5}{2} = \frac{15}{8} = 1\frac{7}{8}$
• •Division med heltal: $\frac{5}{6} \div 2 = \frac{5}{6} \times \frac{1}{2} = \frac{5}{12}$
• •Blandad form: $2\frac{3}{4} + 1\frac{1}{2} = \frac{11}{4} + \frac{3}{2} = \frac{11}{4} + \frac{6}{4} = \frac{17}{4} = 4\frac{1}{4}$
• •Bråk av bråk: $\frac{1}{2}$ av $\frac{3}{4} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{8}$
• •Jämföra bråk: $\frac{5}{8}$ vs $\frac{7}{12}$ → $\frac{15}{24}$ vs $\frac{14}{24}$ → $\frac{5}{8} > \frac{7}{12}$
• •Ordna bråk: $\frac{1}{3} < \frac{3}{8} < \frac{1}{2} < \frac{5}{8} < \frac{2}{3}$

Geometriska två- och tredimensionella objekt. Mätning och enhetsbyten. Metoder för omkrets och area. Skala och symmetri.

• •Cirkelns omkrets: $O = 2\pi r = \pi d$, t.ex. $r = 5$ cm → $O = 10\pi \approx 31{,}4$ cm
• •Cirkelns area: $A = \pi r^2$, t.ex. $r = 5$ cm → $A = 25\pi \approx 78{,}5$ cm²
• •Triangelns area: $A = \frac{bh}{2}$, t.ex. $b = 12$ cm, $h = 8$ cm → $A = 48$ cm²
• •Parallelltrapets area: $A = \frac{(a + b) \cdot h}{2}$
• •Sammansatt figur: Dela upp i trianglar, rektanglar, cirkelsektorer
• •Pythagoras sats (intro): I rätvinklig triangel: $a^2 + b^2 = c^2$
• •Exempel Pythagoras: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$
• •Vinkelsumma triangel: $\alpha + \beta + \gamma = 180°$
• •Vinkelsumma fyrkant: Summa inre vinklar $= 360°$
• •Likformiga trianglar: Motsvarande sidor har samma förhållande
• •Skala: Karta $1:50\,000$ → $2$ cm på kartan $= 1$ km i verkligheten
• •Skala beräkning: Förstoring $3:1$ → verklig $4$ cm blir $12$ cm på ritning
• •Volym cylinder: $V = \pi r^2 h$, t.ex. $r = 3$, $h = 10$ → $V = 90\pi \approx 283$ cm³
• •Enhetsomvandling area: $2{,}5$ m² $= 25\,000$ cm²
• •Enhetsomvandling volym: $1$ dm³ $= 1$ liter $= 1\,000$ cm³

Koordinatsystem med alla fyra kvadranter. Grafer för proportionella och andra samband.

• •Fyra kvadranter: I $(+,+)$, II $(-,+)$, III $(-,-)$, IV $(+,-)$
• •Negativa koordinater: Punkten $(-3, -2)$ ligger i tredje kvadranten
• •Rita linje: $y = 2x - 1$ → punkter $(-1,-3), (0,-1), (1,1), (2,3)$
• •Lutning (intro): Linjen $y = 2x$ stiger $2$ steg upp för varje steg åt höger
• •Proportionell graf: $y = 3x$ går genom origo, lutning $= 3$
• •Avläsa graf: När $x = 4$, vad är $y$ på linjen $y = \frac{1}{2}x + 2$? Svar: $y = 4$
• •Skärningspunkt: $y = x + 1$ och $y = 3$ skär när $x + 1 = 3 \Rightarrow x = 2$
• •Parallella linjer: $y = 2x + 1$ och $y = 2x + 4$ har samma lutning
• •Graf från tabell: x: 0,1,2,3 | y: 1,3,5,7 → $y = 2x + 1$

Slumpmässiga händelser, chans och risk. Kombinatorik. Tabeller och diagram. Lägesmått.

• •Sannolikhet: $P(A) = \frac{\text{gynnsamma}}{\text{möjliga}}$, alltid $0 \leq P \leq 1$
• •Komplementhändelse: $P(\text{inte A}) = 1 - P(A)$
• •Två tärningar: $P(\text{summa 7}) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$
• •Två händelser: $P(A \text{ och } B) = P(A) \times P(B)$ (oberoende)
• •Exempel: $P(\text{två sexor}) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$
• •Kombinatorik: Antal sätt att välja 2 av 5: $\frac{5 \times 4}{2} = 10$
• •Permutation: $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ sätt att ordna 5 saker
• •Medelvärde: $\bar{x} = \frac{\text{summa}}{\text{antal}}$
• •Viktad medelvärde: Prov $80\%$ av betyg, läxa $20\%$. Prov: 85, läxa: 90 → $0{,}8(85) + 0{,}2(90) = 86$
• •Median: Ordna värden, ta mittersta (eller medelvärde av två mittersta)
• •Variationsbredd: Största $-$ minsta värdet
• •Tolka diagram: Jämföra staplar, identifiera trender i linjediagram

Proportionalitet uttryckt i bråk-, decimal- och procentform. Grafer för proportionella samband.

• •Proportionalitet: $y = kx$ där $k$ är proportionalitetskonstanten
• •Bestäm $k$: Om $y = 15$ när $x = 3$, då $k = \frac{15}{3} = 5$
• •Förhållande: Blanda saft $1:4$ → 1 del saft, 4 delar vatten → totalt 5 delar
• •Skala samband: Om skala $1:100$, då $\frac{\text{ritad}}{\text{verklig}} = \frac{1}{100}$
• •Hastighet: $v = \frac{s}{t}$, om $s = 150$ km och $t = 3$ h, då $v = 50$ km/h
• •Densitet: $\rho = \frac{m}{V}$, om $m = 500$ g och $V = 200$ cm³, då $\rho = 2{,}5$ g/cm³
• •Procentändring: Från 80 till 100: $\frac{100-80}{80} \times 100\% = 25\%$ ökning
• •Graf: Proportionellt samband → rät linje genom origo
• •Omvänt proportionellt: $xy = k$ (konstant), t.ex. tid $\times$ hastighet $=$ sträcka

Strategier för att lösa matematiska problem. Formulering av matematiska frågeställningar.

• •Strategi: Läs, Förstå, Planera, Genomför, Kontrollera, Reflektera
• •Flera lösningsmetoder: Pröva olika sätt att angripa problemet
• •Procentproblem: 'Priset höjdes 20\%, sedan sänktes det 20\%. Samma pris?'
• •Lösning: $100 \times 1{,}20 \times 0{,}80 = 96$ → Nej, $4\%$ lägre!
• •Algebraproblem: 'Summan av tre på varandra följande tal är 57'
• •Lösning: $x + (x+1) + (x+2) = 57 \Rightarrow 3x + 3 = 57 \Rightarrow x = 18$ → 18, 19, 20
• •Geometriproblem: 'Rektangelns längd är 3 cm mer än bredden. Omkrets 26 cm.'
• •Lösning: $2(b + b + 3) = 26 \Rightarrow 4b + 6 = 26 \Rightarrow b = 5$ cm, $l = 8$ cm
• •Logiskt resonemang: 'Om alla A är B, och C är A, då är C även B'
• •Motexempel: 'Alla primtal är udda' - motexempel: $2$ är jämnt primtal
• •Generalisera: 'Gäller mönstret för alla tal?' Testa, bevisa eller motbevisa