Årskurs 4

Rationella tal, däribland negativa tal, och deras egenskaper. Positionssystemet för hela tal och decimaltal. Vi utforskar olika talsystem genom historien och lär oss sambandet mellan bråk, decimal och procent.

• •Negativa tal: $..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...$ (tallinje)
• •Negativa i verkligheten: Temperatur $-5°C$, höjd under havet $-20$ m, skuld $-100$ kr
• •Jämföra negativa: $-3 < -1 < 0 < 2$ (närmare noll = större)
• •Positionssystemet: $45\,678 = 4 \cdot 10\,000 + 5 \cdot 1\,000 + 6 \cdot 100 + 7 \cdot 10 + 8$
• •Decimaltal: $3{,}45 = 3 + \frac{4}{10} + \frac{5}{100} = 3 + 0{,}4 + 0{,}05$
• •Platsvärde decimaler: I $12{,}345$ är 4:an värd $\frac{4}{100} = 0{,}04$
• •Talsystem: Romerska $\text{MCMXCIV} = 1994$, $\text{MMXXVI} = 2026$
• •Talsystem: Mayafolkets talsystem (bas 20), Babyloniska (bas 60)
• •Bråk till decimal: $\frac{1}{4} = 0{,}25$, $\frac{3}{4} = 0{,}75$, $\frac{1}{2} = 0{,}5$
• •Bråk till decimal: $\frac{1}{5} = 0{,}2$, $\frac{2}{5} = 0{,}4$, $\frac{3}{5} = 0{,}6$
• •Decimal till bråk: $0{,}25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$
• •Procent introduktion: $50\% = \frac{50}{100} = \frac{1}{2} = 0{,}5$
• •Procent: $25\% = \frac{1}{4}$, $75\% = \frac{3}{4}$, $10\% = \frac{1}{10}$
• •Procent i vardagen: $25\%$ rabatt på $200$ kr $= 0{,}25 \times 200 = 50$ kr rabatt
• •Addition decimaltal: $3{,}45 + 2{,}78 = 6{,}23$
• •Subtraktion decimaltal: $5{,}32 - 2{,}87 = 2{,}45$
• •Multiplikation: $23 \times 45 = 23 \times 40 + 23 \times 5 = 920 + 115 = 1\,035$
• •Division: $156 \div 12 = 13$ (prova: $13 \times 12 = 156$ ✓)
• •Division med rest: $158 \div 12 = 13$ rest $2$ (ty $13 \times 12 = 156$)
• •Prioriteringsregler: $3 + 4 \times 5 = 3 + 20 = 23$ (multiplikation först!)
• •Prioriteringsregler: $(3 + 4) \times 5 = 7 \times 5 = 35$ (parentesen först!)
• •Överslagsräkning: $49 \times 21 \approx 50 \times 20 = 1\,000$
• •Huvudräkning: $25 \times 8 = 25 \times 4 \times 2 = 100 \times 2 = 200$

Matematiska likheter och likhetstecknets användning för ekvationer. Variabler i algebraiska uttryck och ekvationer. Metoder för att lösa ekvationer. Tips: Avsätt 'Algebraonsdagar' med 40-45 minuter fokuserad algebra varje vecka!

• •📅 VECKA 1-5: Uttryck med variabler
• •Variabel: Bokstaven $x$ representerar ett okänt tal
• •Uttryck: $x + 5$ betyder 'ett tal plus fem'
• •Uttryck: $3x$ betyder '$3$ gånger ett tal' (samma som $3 \cdot x$)
• •Uttryck: $2x + 7$ betyder 'dubbla talet och lägg till sju'
• •Beräkna uttryck: Om $x = 4$, då är $2x + 3 = 2 \cdot 4 + 3 = 8 + 3 = 11$
• •📅 VECKA 6-12: Enkla ekvationer
• •Ekvation: $x + 7 = 15$ (hitta $x$ som gör likheten sann)
• •Lös ekvation: $x + 7 = 15 \Rightarrow x = 15 - 7 = 8$
• •Lös ekvation: $x - 5 = 12 \Rightarrow x = 12 + 5 = 17$
• •Lös ekvation: $3x = 24 \Rightarrow x = 24 \div 3 = 8$
• •Lös ekvation: $\frac{x}{4} = 6 \Rightarrow x = 6 \times 4 = 24$
• •Kontrollera: $x = 8$ i $x + 7 = 15$: $8 + 7 = 15$ ✓
• •📅 VECKA 13-20: Tvåstegs-ekvationer
• •Två steg: $2x + 5 = 17 \Rightarrow 2x = 12 \Rightarrow x = 6$
• •Två steg: $3x - 4 = 14 \Rightarrow 3x = 18 \Rightarrow x = 6$
• •Två steg: $\frac{x}{2} + 3 = 10 \Rightarrow \frac{x}{2} = 7 \Rightarrow x = 14$
• •📅 VECKA 21-28: Talföljder och mönster
• •Aritmetisk följd: $5, 9, 13, 17, \underline{21}, \underline{25}$ (differens $+4$)
• •Aritmetisk formel: $a_n = 5 + (n-1) \cdot 4$ för följden ovan
• •Geometrisk följd: $3, 6, 12, 24, \underline{48}, \underline{96}$ (kvot $\times 2$)
• •Figurföljd: Triangeltal $1, 3, 6, 10, 15, ...$ ($+2, +3, +4, +5, ...$)
• •📅 VECKA 29-36: Programmering
• •Visuell programmering: Scratch - loopar, villkor, variabler
• •Algoritm: UPPREPA 6 [FRAMÅT 50, HÖGER 60] → ritar hexagon
• •Villkor: OM poäng > 100 DÅ skriv 'Vinst!' ANNARS skriv 'Försök igen'
• •Loop med räknare: FÖR i = 1 TILL 10: skriv $i \times 7$
• •📅 VECKA 37-40: Blandade utmaningar
• •Problemlösning med algebra: 'Summan av två tal är 25, skillnaden är 7. Vilka?'
• •Lösning: $x + y = 25$ och $x - y = 7$ → $x = 16$, $y = 9$
• •💡 TIPS: Använd Scratch eller Code.org för att öva programmering!

Hur tal i bråk- och decimalform kan användas i vardagliga situationer. Beräkningar med bråk och decimaltal.

• •Bråkdelar: Täljare (antal delar vi har) och nämnare (antal delar totalt): $\frac{3}{4}$
• •Likvärdiga bråk: $\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{4}{8} = \frac{5}{10}$
• •Förkorta bråk: $\frac{6}{8} = \frac{6 \div 2}{8 \div 2} = \frac{3}{4}$
• •Förläng bråk: $\frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12}$
• •Addition samma nämnare: $\frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$
• •Subtraktion samma nämnare: $\frac{5}{8} - \frac{2}{8} = \frac{3}{8}$
• •Addition olika nämnare: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
• •Addition olika nämnare: $\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
• •Bråk av tal: $\frac{3}{4}$ av $24 = \frac{3 \times 24}{4} = \frac{72}{4} = 18$
• •Bråk av tal: $\frac{2}{5}$ av $35 = \frac{2 \times 35}{5} = \frac{70}{5} = 14$
• •Blandad form: $\frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$ (1 hel och 3 fjärdedelar)
• •Blandad form: $2\frac{1}{3} = \frac{2 \times 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$
• •Jämföra bråk: $\frac{3}{4} > \frac{2}{3}$ (gemensam nämnare: $\frac{9}{12} > \frac{8}{12}$)

Grundläggande geometriska två- och tredimensionella objekt. Mätning av längd, area, massa, volym, tid och vinkel. Metoder för omkrets och area. Skala och symmetri.

• •Rektangelns area: $A = b \cdot h$, t.ex. $A = 8 \cdot 5 = 40$ cm²
• •Rektangelns omkrets: $O = 2b + 2h = 2(b + h)$, t.ex. $O = 2(8+5) = 26$ cm
• •Kvadratens area: $A = s^2$, t.ex. sida $= 6$ cm → $A = 6^2 = 36$ cm²
• •Kvadratens omkrets: $O = 4s$, t.ex. $O = 4 \cdot 6 = 24$ cm
• •Triangelns area: $A = \frac{b \cdot h}{2}$, t.ex. $A = \frac{10 \cdot 6}{2} = 30$ cm²
• •Parallellogrammens area: $A = b \cdot h$, t.ex. $A = 7 \cdot 4 = 28$ cm²
• •Sammansatta figurer: Dela upp i enklare figurer, beräkna var för sig
• •Längdenheter: $1$ km $= 1\,000$ m, $1$ m $= 100$ cm $= 1\,000$ mm
• •Areaenheter: $1$ m² $= 10\,000$ cm², $1$ cm² $= 100$ mm²
• •Massaenheter: $1$ ton $= 1\,000$ kg, $1$ kg $= 1\,000$ g
• •Volymenheter: $1$ m³ $= 1\,000$ dm³ $= 1\,000$ liter
• •Volym rätblock: $V = l \cdot b \cdot h$, t.ex. $V = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$ cm³
• •Vinklar: Rät vinkel $= 90°$, rak vinkel $= 180°$, hel vinkel $= 360°$
• •Vinkeltyper: Spetsig $< 90°$, trubbig $> 90°$ och $< 180°$
• •Triangelns vinkelsumma: $\alpha + \beta + \gamma = 180°$
• •Skala: $1:100$ betyder $1$ cm på ritning $= 100$ cm $= 1$ m i verkligheten
• •Skala beräkning: Ritad längd $= 5$ cm, skala $1:50$ → verklig längd $= 250$ cm
• •Symmetri: En figur är symmetrisk om den kan vikas och två hälfterna passar ihop
• •Rotationssymmetri: Kvadraten har rotationssymmetri av ordning 4

Koordinatsystem och gradering av koordinataxlar. Grafer för att uttrycka proportionella samband.

• •Koordinatsystem: x-axel (horisontell) och y-axel (vertikal)
• •Punkt i koordinatsystem: $A = (3, 5)$ betyder $x = 3$ och $y = 5$
• •Origo: Punkten $(0, 0)$ där axlarna korsas
• •Rita punkter: $A(2, 3)$, $B(5, 3)$, $C(5, 7)$, $D(2, 7)$ → rektangel
• •Negativa koordinater: $(-3, 2)$ är 3 steg åt vänster, 2 steg upp
• •Fyra kvadranter: I $(+,+)$, II $(-,+)$, III $(-,-)$, IV $(+,-)$
• •Proportionellt samband: $y = 2x$ ger punkterna $(1,2), (2,4), (3,6)$
• •Proportionell graf: Rät linje genom origo
• •Avläsa graf: Vid $x = 4$ läser vi av att $y = 8$ på linjen $y = 2x$
• •Tabell till graf: Tid (h): 1, 2, 3 | Sträcka (km): 5, 10, 15 → $y = 5x$

Slumpmässiga händelser, chans och risk. Kombinatorik. Tabeller och diagram. Lägesmåtten medelvärde, typvärde och median.

• •Sannolikhet: $P(\text{händelse}) = \frac{\text{gynnsamma utfall}}{\text{möjliga utfall}}$
• •Tärning: $P(6) = \frac{1}{6} \approx 0{,}167 \approx 16{,}7\%$
• •Tärning: $P(\text{jämnt tal}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 50\%$
• •Två slantar: Möjliga utfall: KK, KL, LK, LL → $P(\text{två krona}) = \frac{1}{4}$
• •Kombinatorik: 3 tröjor och 4 byxor → $3 \times 4 = 12$ kombinationer
• •Kombinatorik: Hur många 3-siffriga tal med siffrorna 1,2,3 (inga upprepningar)? $3! = 6$
• •Medelvärde: $\bar{x} = \frac{4 + 7 + 5 + 8 + 6}{5} = \frac{30}{5} = 6$
• •Median: Ordna $3, 5, 7, 8, 12$ → median $= 7$ (mittersta talet)
• •Median jämnt antal: $4, 6, 8, 10$ → median $= \frac{6+8}{2} = 7$
• •Typvärde: I serien $2, 4, 4, 4, 6, 7$ är typvärdet $4$ (vanligast)
• •Stapeldiagram: Kategorier på x-axeln, frekvens på y-axeln
• •Linjediagram: Visar förändring över tid
• •Cirkeldiagram: Visar andelar som procent av helheten

Proportionalitet och hur proportionella samband uttrycks i bråk-, decimal- och procentform.

• •Proportionalitet: Om $x$ fördubblas, fördubblas även $y$
• •Proportionell formel: $y = kx$ där $k$ är konstant
• •Exempel: Hastighet $60$ km/h → $\text{sträcka} = 60 \times \text{tid}$
• •Procentökning: $200$ kr ökar med $15\%$ → $200 \times 1{,}15 = 230$ kr
• •Procentminskning: $150$ kr minskar med $20\%$ → $150 \times 0{,}80 = 120$ kr
• •Proportionell tabell: Tid (h): 1, 2, 3 | Lön (kr): 100, 200, 300
• •Hitta konstant: $\frac{y}{x} = \frac{200}{2} = 100$ kr/h → $y = 100x$
• •Bråk som andel: $\frac{3}{5}$ av klassen = $\frac{3}{5} \times 25 = 15$ elever
• •Decimal som andel: $0{,}6$ av $80$ kr $= 0{,}6 \times 80 = 48$ kr

Strategier för att lösa matematiska problem i elevnära situationer. Formulering av matematiska frågeställningar utifrån vardagliga situationer.

• •Analysera: Läs problemet noggrant, vad är känt? Vad söks?
• •Välj strategi: Rita bild, gör tabell, skriv ekvation, förenkla
• •Flerstegsproblem: 'Köp 3 böcker à 89 kr med 20\% rabatt' → $3 \times 89 \times 0{,}80 = 213{,}60$ kr
• •Åldersproblem: 'Mamma är 3 gånger så gammal som sonen. Tillsammans 48 år.' → $x + 3x = 48$
• •Lösning: $4x = 48 \Rightarrow x = 12$ (sonen), $3x = 36$ (mamma)
• •Pengaproblem: 'Jag köpte varor för $\frac{2}{5}$ av mina pengar. 180 kr kvar. Hur mycket hade jag?'
• •Lösning: $\frac{3}{5}$ av pengarna $= 180$ kr → $\frac{1}{5} = 60$ kr → totalt $5 \times 60 = 300$ kr
• •Areaproblem: 'Rektangel med omkrets 24 cm och längd dubbla bredden. Area?'
• •Lösning: $2(2b + b) = 24 \Rightarrow 6b = 24 \Rightarrow b = 4$, $l = 8$ → $A = 32$ cm²
• •Kontrollera: Är svaret rimligt? Stämmer det med villkoren?
• •Förklara: Berätta hur du tänkte, använd matematiska begrepp