Mathquizily
Alla nivåerÅk 9, Gymnasiet Ma 1–4

Trigonometri

Trigonometri handlar om sambanden mellan vinklar och sidor i trianglar. De trigonometriska funktionerna sinus, cosinus och tangens definieras i rätvinkliga trianglar och används för att beräkna okända sidor och vinklar.

Viktiga punkter

  • ✓sin⁡(v)=motsta˚endehypotenusa\sin(v) = \frac{\text{motstående}}{\text{hypotenusa}}
  • ✓cos⁡(v)=na¨rliggandehypotenusa\cos(v) = \frac{\text{närliggande}}{\text{hypotenusa}}
  • ✓tan⁡(v)=motsta˚endena¨rliggande\tan(v) = \frac{\text{motstående}}{\text{närliggande}}
  • ✓SOH-CAH-TOA som minnesregel
  • ✓Arcusfunktioner för att beräkna vinklar

Definitioner i rätvinklig triangel

I en rätvinklig triangel definieras de trigonometriska funktionerna utifrån en spetsig vinkel vv: motstående katet (den sida som ligger mitt emot vinkeln), närliggande katet (den sida som bildar vinkeln tillsammans med hypotenusan) och hypotenusan (längsta sidan, mitt emot 90°).

Exempel:

  • 1sin⁡(v)=motsta˚ende katethypotenusa\sin(v) = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenusa}}
  • 2cos⁡(v)=na¨rliggande katethypotenusa\cos(v) = \frac{\text{närliggande katet}}{\text{hypotenusa}}
  • 3tan⁡(v)=motsta˚ende katetna¨rliggande katet\tan(v) = \frac{\text{motstående katet}}{\text{närliggande katet}}
  • 4Minnesregel: SOH-CAH-TOA

Beräkna en sida

När du känner en vinkel och en sida kan du beräkna de andra sidorna. Välj den trigonometriska funktion som innehåller den okända sidan och den kända sidan.

Exempel:

  • 1Givet: v=30°v = 30°, hypotenusa =10= 10. Sök motstående.
  • 2sin⁡(30°)=x10⇒x=10⋅sin⁡(30°)=10⋅0,5=5\sin(30°) = \frac{x}{10} \Rightarrow x = 10 \cdot \sin(30°) = 10 \cdot 0{,}5 = 5
  • 3Givet: v=45°v = 45°, närliggande =8= 8. Sök motstående.
  • 4tan⁡(45°)=x8⇒x=8⋅tan⁡(45°)=8⋅1=8\tan(45°) = \frac{x}{8} \Rightarrow x = 8 \cdot \tan(45°) = 8 \cdot 1 = 8

Beräkna en vinkel

När du känner två sidor kan du beräkna vinkeln med arcusfunktionerna (inverserna): arcsin⁡\arcsin, arccos⁡\arccos eller arctan⁡\arctan (skrivs även sin⁡−1\sin^{-1}, cos⁡−1\cos^{-1}, tan⁡−1\tan^{-1}).

Exempel:

  • 1Motstående =3= 3, hypotenusa =6= 6: sin⁡(v)=36=0,5\sin(v) = \frac{3}{6} = 0{,}5
  • 2v=arcsin⁡(0,5)=30°v = \arcsin(0{,}5) = 30°
  • 3Motstående =4= 4, närliggande =4= 4: tan⁡(v)=1⇒v=45°\tan(v) = 1 \Rightarrow v = 45°
  • 4Använd miniräknare i DEG-läge (grader)

Viktiga värden

Vissa vinklar har exakta trigonometriska värden som är bra att kunna utantill.

Exempel:

  • 1sin⁡(30°)=12\sin(30°) = \frac{1}{2}, cos⁡(30°)=32\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}, tan⁡(30°)=13\tan(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}}
  • 2sin⁡(45°)=22\sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}, cos⁡(45°)=22\cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}, tan⁡(45°)=1\tan(45°) = 1
  • 3sin⁡(60°)=32\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}, cos⁡(60°)=12\cos(60°) = \frac{1}{2}, tan⁡(60°)=3\tan(60°) = \sqrt{3}
  • 4sin⁡2(v)+cos⁡2(v)=1\sin^2(v) + \cos^2(v) = 1 (trigonometriska ettan)

Ladda ner trigonometri-övningar som PDF

PDF med facit på trigonometri – anpassat efter Lgr22. Välj nivå E, C eller A.

📥 Ladda ner PDF med facitSe övningar →

Skapa egna trigonometri-prov med AI

Välj ämne, nivå och antal uppgifter – vår AI genererar ett komplett prov med facit och lösningar som PDF.

Skapa eget prov med AI →Läs mer om AI-generatorn

Öva trigonometri

ÖVNINGARGeometri-övningar med facitGenerera uppgifter med facit → STEG FÖR STEGPythagoras steg för stegSe hur du löser uppgifter →

Matematik per årskurs

ÅRSKURSMatematik åk 9ÅRSKURSGymnasiematematikNATIONELLA PROVNationella prov matematik

Relaterade ämnen

Pythagoras sats →Vinklar →Areaformler →