Mathquizily
Alla nivåerÅk 9, Gymnasiet Ma 1–4

Trigonometri

Trigonometri handlar om sambanden mellan vinklar och sidor i trianglar. De trigonometriska funktionerna sinus, cosinus och tangens definieras i rätvinkliga trianglar och används för att beräkna okända sidor och vinklar.

💡 Viktiga punkter

  • ✓sin⁡(v)=motsta˚endehypotenusa\sin(v) = \frac{\text{motstående}}{\text{hypotenusa}}
  • ✓cos⁡(v)=na¨rliggandehypotenusa\cos(v) = \frac{\text{närliggande}}{\text{hypotenusa}}
  • ✓tan⁡(v)=motsta˚endena¨rliggande\tan(v) = \frac{\text{motstående}}{\text{närliggande}}
  • ✓SOH-CAH-TOA som minnesregel
  • ✓Arcusfunktioner för att beräkna vinklar

Definitioner i rätvinklig triangel

I en rätvinklig triangel definieras de trigonometriska funktionerna utifrån en spetsig vinkel vv: motstående katet (den sida som ligger mitt emot vinkeln), närliggande katet (den sida som bildar vinkeln tillsammans med hypotenusan) och hypotenusan (längsta sidan, mitt emot 90°).

📝 Exempel:

  • 1sin⁡(v)=motsta˚ende katethypotenusa\sin(v) = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenusa}}
  • 2cos⁡(v)=na¨rliggande katethypotenusa\cos(v) = \frac{\text{närliggande katet}}{\text{hypotenusa}}
  • 3tan⁡(v)=motsta˚ende katetna¨rliggande katet\tan(v) = \frac{\text{motstående katet}}{\text{närliggande katet}}
  • 4Minnesregel: SOH-CAH-TOA

Beräkna en sida

När du känner en vinkel och en sida kan du beräkna de andra sidorna. Välj den trigonometriska funktion som innehåller den okända sidan och den kända sidan.

📝 Exempel:

  • 1Givet: v=30°v = 30°, hypotenusa =10= 10. Sök motstående.
  • 2sin⁡(30°)=x10⇒x=10⋅sin⁡(30°)=10⋅0,5=5\sin(30°) = \frac{x}{10} \Rightarrow x = 10 \cdot \sin(30°) = 10 \cdot 0{,}5 = 5
  • 3Givet: v=45°v = 45°, närliggande =8= 8. Sök motstående.
  • 4tan⁡(45°)=x8⇒x=8⋅tan⁡(45°)=8⋅1=8\tan(45°) = \frac{x}{8} \Rightarrow x = 8 \cdot \tan(45°) = 8 \cdot 1 = 8

Beräkna en vinkel

När du känner två sidor kan du beräkna vinkeln med arcusfunktionerna (inverserna): arcsin⁡\arcsin, arccos⁡\arccos eller arctan⁡\arctan (skrivs även sin⁡−1\sin^{-1}, cos⁡−1\cos^{-1}, tan⁡−1\tan^{-1}).

📝 Exempel:

  • 1Motstående =3= 3, hypotenusa =6= 6: sin⁡(v)=36=0,5\sin(v) = \frac{3}{6} = 0{,}5
  • 2v=arcsin⁡(0,5)=30°v = \arcsin(0{,}5) = 30°
  • 3Motstående =4= 4, närliggande =4= 4: tan⁡(v)=1⇒v=45°\tan(v) = 1 \Rightarrow v = 45°
  • 4Använd miniräknare i DEG-läge (grader)

Viktiga värden

Vissa vinklar har exakta trigonometriska värden som är bra att kunna utantill.

📝 Exempel:

  • 1sin⁡(30°)=12\sin(30°) = \frac{1}{2}, cos⁡(30°)=32\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}, tan⁡(30°)=13\tan(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}}
  • 2sin⁡(45°)=22\sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}, cos⁡(45°)=22\cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}, tan⁡(45°)=1\tan(45°) = 1
  • 3sin⁡(60°)=32\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}, cos⁡(60°)=12\cos(60°) = \frac{1}{2}, tan⁡(60°)=3\tan(60°) = \sqrt{3}
  • 4sin⁡2(v)+cos⁡2(v)=1\sin^2(v) + \cos^2(v) = 1 (trigonometriska ettan)

Träna på trigonometri

Generera obegränsade matteövningar på trigonometri med automatisk PDF-export och facit. Anpassat efter Lgr22!

Generera övningar (PDF + facit)

Relaterade ämnen

Pythagoras sats →Vinklar →Areaformler →