Talföljder

En talföljd är en ordnad lista av tal som följer ett visst mönster eller regel. Varje tal i följden kallas en term. De två viktigaste typerna är aritmetiska talföljder (konstant differens:

a_n = a_1 + (n-1)d

) och geometriska talföljder (konstant kvot:

a_n = a_1 \cdot k^{n-1}

💡 Viktiga punkter

✓Aritmetisk: konstant differens

d

a_n = a_1 + (n-1)d

✓Geometrisk: konstant kvot

k

a_n = a_1 \cdot k^{n-1}

✓Identifiera: testa skillnader först, sedan kvoter

✓Summa aritmetisk:

S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}

✓Summa geometrisk:

S_n = \frac{a_1(k^n - 1)}{k - 1}

Aritmetisk talföljd

I en aritmetisk talföljd är skillnaden (differensen $d$ ) mellan varje par av på varandra följande termer konstant. Vi adderar $d$ för att gå från en term till nästa. Formeln för term nummer $n$ är: $a_n = a_1 + (n-1)d$ , där $a_1$ är första termen.

📝 Exempel:

12, 5, 8, 11, 14, ... ( $d = 3$ )
2Formel: $a_n = a_1 + (n-1)d$
3 $a_1 = 2$ , $d = 3$ : $a_{10} = 2 + (10-1) \times 3 = 2 + 27 = 29$
4100, 95, 90, 85, ... ( $d = -5$ , minskande)

Geometrisk talföljd

I en geometrisk talföljd är kvoten ( $k$ ) mellan varje par av på varandra följande termer konstant. Vi multiplicerar med $k$ för att gå från en term till nästa. Formeln för term nummer $n$ är: $a_n = a_1 \cdot k^{n-1}$ .

📝 Exempel:

12, 6, 18, 54, 162, ... ( $k = 3$ )
2Formel: $a_n = a_1 \cdot k^{n-1}$
3 $a_1 = 2$ , $k = 3$ : $a_5 = 2 \times 3^4 = 2 \times 81 = 162$
41000, 500, 250, 125, ... ( $k = 0{,}5$ , avtagande)

Hitta mönstret

För att identifiera typen: beräkna skillnaderna mellan termer. Om skillnaderna är konstanta är följden aritmetisk. Om inte, prova att beräkna kvoterna – om de är konstanta är följden geometrisk. Vissa följder är varken eller.

📝 Exempel:

13, 7, 11, 15: skillnader 4, 4, 4 $\Rightarrow$ aritmetisk ( $d=4$ )
22, 4, 8, 16: kvoter 2, 2, 2 $\Rightarrow$ geometrisk ( $k=2$ )
31, 4, 9, 16: skillnader 3, 5, 7 $\Rightarrow$ varken (kvadrattal!)
4Fibonaccis: 1, 1, 2, 3, 5, 8 $\Rightarrow$ summa av två föregående

Summan av talföljder

Summan av de $n$ första termerna i en aritmetisk talföljd: $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ . För en geometrisk talföljd ( $k \neq 1$ ): $S_n = \frac{a_1(k^n - 1)}{k - 1}$ . Dessa formler är viktiga på gymnasienivå.

📝 Exempel:

1Aritmetisk summa: $S_n = \frac{n(\text{första} + \text{sista})}{2}$
2 $1+2+3+...+100 = \frac{100 \times (1+100)}{2} = 5050$
3Geometrisk summa: $S_n = \frac{a_1(k^n-1)}{k-1}$
4 $1+2+4+8+16 = \frac{1 \times (2^5-1)}{2-1} = 31$

Talföljder

💡 Viktiga punkter

Aritmetisk talföljd

📝 Exempel:

Geometrisk talföljd

📝 Exempel:

Hitta mönstret

📝 Exempel:

Summan av talföljder

📝 Exempel:

Träna på talföljder

Relaterade ämnen