Alla nivåerÅk 8–9, Gymnasiet

Pythagoras sats

Pythagoras sats är en av matematikens mest kända formler. Den gäller för rätvinkliga trianglar och säger att summan av kateternas kvadrater är lika med hypotenusans kvadrat: $a^2 + b^2 = c^2$ , där $c$ är hypotenusan.

Viktiga punkter

✓ $a^2 + b^2 = c^2$ där $c$ är hypotenusan
✓Hypotenusan ligger mitt emot 90°
✓Beräkna $c$ : $c = \sqrt{a^2 + b^2}$
✓Beräkna katet: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$
✓Använd avståndformeln i koordinatsystem

Formeln

I en rätvinklig triangel är hypotenusan ( $c$ ) den längsta sidan, som ligger mitt emot den räta vinkeln. Kateterna ( $a$ och $b$ ) är de sidor som bildar den räta vinkeln. Satsen: $a^2 + b^2 = c^2$ .

Exempel:

1Kateter 3 och 4: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2 \Rightarrow c = 5$
2Kateter 5 och 12: $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$
3Kateter 6 och 8: $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \Rightarrow c = 10$
4Pythagorasiska tripplar: $(3,4,5)$ , $(5,12,13)$ , $(8,15,17)$

Beräkna hypotenusan

När du känner båda kateterna, beräkna hypotenusan med: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ .

Exempel:

1Kateter $a = 6$ , $b = 8$ : $c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10$
2Kateter $a = 1$ , $b = 1$ : $c = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \approx 1{,}41$
3Kateter $a = 5$ , $b = 5$ : $c = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
4Kateter $a = 2$ , $b = 3$ : $c = \sqrt{13} \approx 3{,}61$

Beräkna en katet

När du känner hypotenusan och en katet, beräkna den andra kateten med: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$ .

Exempel:

1 $c = 13$ , $b = 5$ : $a = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$
2 $c = 10$ , $b = 6$ : $a = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$
3 $c = 5$ , $b = 3$ : $a = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$
4 $c = 15$ , $b = 9$ : $a = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12$

Tillämpningar

Pythagoras sats används för att beräkna avstånd i koordinatsystem, diagonaler i rektanglar, höjder i liksidiga trianglar, och i många praktiska situationer.

Exempel:

1Avstånd: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$
2Rektangels diagonal: $d = \sqrt{b^2 + h^2}$
3Stege mot vägg: hur långt ut står stegen?
4Kontrollera räta vinklar vid byggen (3-4-5-regeln)

Ladda ner pythagoras sats-övningar som PDF

PDF med facit på pythagoras sats – anpassat efter Lgr22. Välj nivå E, C eller A.

📥 Ladda ner PDF med facit Se övningar →

Skapa egna pythagoras sats-prov med AI

Välj ämne, nivå och antal uppgifter – vår AI genererar ett komplett prov med facit och lösningar som PDF.

Skapa eget prov med AI →Läs mer om AI-generatorn

Öva pythagoras sats

ÖVNINGARGeometri-övningar med facitGenerera uppgifter med facit → STEG FÖR STEGPythagoras steg för stegSe hur du löser uppgifter →

Matematik per årskurs

ÅRSKURSMatematik åk 8 ÅRSKURSMatematik åk 9 ÅRSKURSGymnasiematematik NATIONELLA PROVNationella prov matematik

Relaterade ämnen

Kvadratrötter →Areaformler →Trigonometri →