Alla nivåerÅk 8–9, Gymnasiet

Pythagoras sats

Pythagoras sats är en av matematikens mest kända formler. Den gäller för rätvinkliga trianglar och säger att summan av kateternas kvadrater är lika med hypotenusans kvadrat: $a^2 + b^2 = c^2$ , där $c$ är hypotenusan.

💡 Viktiga punkter

✓ $a^2 + b^2 = c^2$ där $c$ är hypotenusan
✓Hypotenusan ligger mitt emot 90°
✓Beräkna $c$ : $c = \sqrt{a^2 + b^2}$
✓Beräkna katet: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$
✓Använd avståndformeln i koordinatsystem

Formeln

I en rätvinklig triangel är hypotenusan ( $c$ ) den längsta sidan, som ligger mitt emot den räta vinkeln. Kateterna ( $a$ och $b$ ) är de sidor som bildar den räta vinkeln. Satsen: $a^2 + b^2 = c^2$ .

📝 Exempel:

1Kateter 3 och 4: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2 \Rightarrow c = 5$
2Kateter 5 och 12: $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$
3Kateter 6 och 8: $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \Rightarrow c = 10$
4Pythagorasiska tripplar: $(3,4,5)$ , $(5,12,13)$ , $(8,15,17)$

Beräkna hypotenusan

När du känner båda kateterna, beräkna hypotenusan med: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ .

📝 Exempel:

1Kateter $a = 6$ , $b = 8$ : $c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10$
2Kateter $a = 1$ , $b = 1$ : $c = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \approx 1{,}41$
3Kateter $a = 5$ , $b = 5$ : $c = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
4Kateter $a = 2$ , $b = 3$ : $c = \sqrt{13} \approx 3{,}61$

Beräkna en katet

När du känner hypotenusan och en katet, beräkna den andra kateten med: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$ .

📝 Exempel:

1 $c = 13$ , $b = 5$ : $a = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$
2 $c = 10$ , $b = 6$ : $a = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$
3 $c = 5$ , $b = 3$ : $a = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$
4 $c = 15$ , $b = 9$ : $a = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12$

Tillämpningar

Pythagoras sats används för att beräkna avstånd i koordinatsystem, diagonaler i rektanglar, höjder i liksidiga trianglar, och i många praktiska situationer.

📝 Exempel:

1Avstånd: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$
2Rektangels diagonal: $d = \sqrt{b^2 + h^2}$
3Stege mot vägg: hur långt ut står stegen?
4Kontrollera räta vinklar vid byggen (3-4-5-regeln)

Träna på pythagoras sats

Generera obegränsade matteövningar på pythagoras sats med automatisk PDF-export och facit. Anpassat efter Lgr22!

Generera övningar (PDF + facit)

Relaterade ämnen

Kvadratrötter →Areaformler →Trigonometri →