Alla nivåerÅk 8–9, Gymnasiet

Pythagoras sats

Pythagoras sats är en av matematikens mest kända formler och gäller för rätvinkliga trianglar. Satsen säger att summan av kvadraterna på kateterna (de två kortare sidorna) är lika med kvadraten på hypotenusan (den längsta sidan, mittemot den räta vinkeln): $a^2 + b^2 = c^2$ .

Viktiga punkter

✓Pythagoras sats: $a^2 + b^2 = c^2$ (endast rätvinkliga trianglar)
✓Hypotenusan ( $c$ ) är längsta sidan, mittemot 90°-vinkeln
✓Beräkna hypotenusa: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$
✓Beräkna katet: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$
✓Pythagorasiska tripplar: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17

Satsen och dess delar

I en rätvinklig triangel kallas de två sidor som bildar den räta vinkeln för kateter ( $a$ och $b$ ). Sidan mittemot den räta vinkeln kallas hypotenusan ( $c$ ) och är alltid den längsta sidan. Pythagoras sats: $a^2 + b^2 = c^2$ .

Exempel:

1 $a$ och $b$ = kateterna (vid den räta vinkeln)
2 $c$ = hypotenusan (längsta sidan, mittemot 90°)
3 $a^2 + b^2 = c^2$ (alltid sant i rätvinkliga trianglar)
4Satsen gäller ENDAST för rätvinkliga trianglar

Beräkna hypotenusan

När du känner de två kateterna $a$ och $b$ , beräkna hypotenusan $c$ med formeln $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ . Kvadrera först båda kateterna, addera dem, och ta sedan kvadratroten.

Exempel:

1 $a = 3$ , $b = 4$ : $c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
2 $a = 5$ , $b = 12$ : $c = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$
3 $a = 6$ , $b = 8$ : $c = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$
43-4-5 och 5-12-13 är pythagorasiska tripplar

Beräkna en katet

Om du känner hypotenusan $c$ och en katet, kan du beräkna den andra kateten. Skriv om formeln: $a^2 = c^2 - b^2$ , vilket ger $a = \sqrt{c^2 - b^2}$ . Subtrahera den kända katetens kvadrat från hypotenusans kvadrat.

Exempel:

1 $c = 10$ , $b = 6$ : $a = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$
2 $c = 13$ , $a = 5$ : $b = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$
3 $c = 5$ , $a = 3$ : $b = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$

Praktiska tillämpningar

Pythagoras sats används inom byggnation, navigation, fysik och vardagliga beräkningar. Den kan användas för att beräkna avstånd, kontrollera räta vinklar, och lösa problem med diagonaler.

Exempel:

1Stege mot vägg: hur långt ut ska stegen stå?
2Diagonal i rektangel: $d = \sqrt{\text{längd}^2 + \text{bredd}^2}$
3Avstånd på karta: kombinera x- och y-avstånd
4Kontrollera rät vinkel: om $3^2 + 4^2 = 5^2$ är vinkeln 90°

Ladda ner pythagoras sats-övningar som PDF

PDF med facit på pythagoras sats – anpassat efter Lgr22. Välj nivå E, C eller A.

📥 Ladda ner PDF med facit Se övningar →

Skapa egna pythagoras sats-prov med AI

Välj ämne, nivå och antal uppgifter – vår AI genererar ett komplett prov med facit och lösningar som PDF.

Skapa eget prov med AI →Läs mer om AI-generatorn

Öva pythagoras sats

ÖVNINGARGeometri-övningar med facitGenerera uppgifter med facit → STEG FÖR STEGPythagoras steg för stegSe hur du löser uppgifter →

Matematik per årskurs

ÅRSKURSMatematik åk 8 ÅRSKURSMatematik åk 9 ÅRSKURSGymnasiematematik NATIONELLA PROVNationella prov matematik

Relaterade ämnen

Trianglar →Kvadratrot →Area →