Integraler

En integral kan ses som summan av oändligt många, oändligt smala rektanglar under en kurva. Beteckningen $\int f(x) \, dx$ läses som "integralen av $f(x)$ med avseende på $x$". Om $F'(x) = f(x)$ kallas $F(x)$ en primitiv funktion till $f(x)$. Alla primitiva funktioner skiljer sig åt med en konstant $C$, så den fullständiga lösningen skrivs $F(x) + C$.

Den obestämda integralen $\int f(x) \, dx$ ger alla primitiva funktioner till $f(x)$. Konstanten $C$ kallas integrationskonstanten och bestäms av begynnelsevillkor. Till exempel, om $F(0) = 5$ och $F(x) = x^2 + C$, ger $0 + C = 5$, alltså $C = 5$.

Potensregeln för integration: $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (gäller då $n \neq -1$). Konstantfaktorn: $\int c \cdot f(x) \, dx = c \cdot \int f(x) \, dx$. Summaregeln: $\int (f + g) \, dx = \int f \, dx + \int g \, dx$. Dessa regler är speglingar av motsvarande deriveringsregler.

Den bestämda integralen $\int_a^b f(x) \, dx$ beräknas med analysens huvudsats: $\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) = [F(x)]_a^b$. Resultatet ger den signerade arean, där ytor ovanför $x$-axeln räknas som positiva och ytor under $x$-axeln som negativa. För total area används $\int_a^b |f(x)| \, dx$.

Integraler används för att beräkna areor mellan kurvor: arean mellan $f(x)$ och $g(x)$ på intervallet $[a, b]$ är $\int_a^b |f(x) - g(x)| \, dx$. I fysiken beräknar man sträcka från hastighetsfunktionen och arbete från en kraftfunktion med hjälp av integraler. Inom ekonomi används integraler för att beräkna konsument- och producentöverskott.