Alla nivåerÅk 9, Gymnasiet Ma 1–2

Andragradsfunktioner

En andragradsfunktion har formen $f(x) = ax^2 + bx + c$ där $a \neq 0$ . Grafen är en parabel som öppnar uppåt om $a > 0$ och nedåt om $a < 0$ . Parabeln har en symmetrilinje och en extrempunkt (vertex).

💡 Viktiga punkter

✓ $a > 0$ : öppnar uppåt (minimum), $a < 0$ : öppnar nedåt (maximum)
✓Symmetrilinje: $x = -\frac{b}{2a}$
✓Vertex ligger på symmetrilinjen
✓Nollställen: lös $ax^2 + bx + c = 0$
✓ $y$ -skärning: $(0, c)$

Parabelns form

Koefficienten $a$ bestämmer parabelns form: $|a| > 1$ ger smalare parabel, $|a| < 1$ ger bredare. Tecknet på $a$ avgör riktningen: $a > 0$ öppnar uppåt (minimum), $a < 0$ öppnar nedåt (maximum).

📝 Exempel:

1 $y = x^2$ – standardparabel, öppnar uppåt
2 $y = -x^2$ – öppnar nedåt
3 $y = 2x^2$ – smalare än $y = x^2$
4 $y = \frac{1}{2}x^2$ – bredare än $y = x^2$

Symmetrilinje och vertex

Symmetrilinjen har ekvationen $x = -\frac{b}{2a}$ (eller $x = -\frac{p}{2}$ för $y = x^2 + px + q$ ). Vertex (extrempunkten) ligger på symmetrilinjen. Sätt in $x$ -värdet i funktionen för att få $y$ -koordinaten.

📝 Exempel:

1 $y = x^2 - 4x + 3$ : symmetrilinje $x = -\frac{-4}{2} = 2$
2Vertex: $y = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$
3Vertex = $(2, -1)$ – detta är minimum
4Parabeln är symmetrisk kring linjen $x = 2$

Nollställen

Nollställena är de $x$ -värden där $f(x) = 0$ , alltså där grafen skär $x$ -axeln. Lös andragradsekvationen $ax^2 + bx + c = 0$ med pq-formeln eller faktorisering.

📝 Exempel:

1 $y = x^2 - 5x + 6 = 0 \Rightarrow (x-2)(x-3) = 0$
2Nollställen: $x = 2$ och $x = 3$
3Grafen skär $x$ -axeln i punkterna $(2, 0)$ och $(3, 0)$
4 $y$ -skärning: sätt $x = 0 \Rightarrow y = c$

Rita en parabel

1) Bestäm riktning ( $a > 0$ eller $a < 0$ ). 2) Hitta symmetrilinjen och vertex. 3) Hitta nollställena (om de finns). 4) Hitta $y$ -skärningen. 5) Rita genom att spegla punkter kring symmetrilinjen.

📝 Exempel:

1 $y = x^2 - 2x - 3$ : $a = 1 > 0$ (öppnar uppåt)
2Symmetrilinje: $x = 1$ , vertex: $(1, -4)$
3Nollställen: $x = -1$ och $x = 3$
4 $y$ -skärning: $(0, -3)$

Träna på andragradsfunktioner

Generera obegränsade matteövningar på andragradsfunktioner med automatisk PDF-export och facit. Anpassat efter Lgr22!

Generera övningar (PDF + facit)

Relaterade ämnen

Andragradsekvationer →pq-formeln →Linjära funktioner →