Linjära funktioner

En linjär funktion har formen

y = kx + m

(eller

f(x) = kx + m

) och dess graf är alltid en rät linje. Konstanten

k

kallas riktningskoefficient och anger linjens lutning. Konstanten

m

anger var linjen skär y-axeln. Linjära funktioner beskriver samband med konstant förändringshastighet.

💡 Viktiga punkter

✓

y = kx + m

k

= lutning,

m

= y-intercept

✓

k > 0

: uppåtlutande |

k < 0

: nedåtlutande |

k = 0

: horisontell

✓Beräkna

k

k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

✓

m

= y-värdet där linjen korsar y-axeln (

x = 0

)

✓Parallella linjer har samma

k

-värde

Funktionsuttrycket $y = kx + m$

$k$ är lutningen (riktningskoefficienten): visar hur mycket $y$ ändras när $x$ ökar med 1. $m$ är y-intercept (skärning med y-axeln): värdet på $y$ när $x = 0$ . Om $k > 0$ lutar linjen uppåt, om $k < 0$ lutar den nedåt, om $k = 0$ är linjen horisontell.

📝 Exempel:

1 $y = 2x + 3$ : $k = 2$ (lutar uppåt), $m = 3$ (skär y vid 3)
2 $y = -x + 5$ : $k = -1$ (lutar nedåt), $m = 5$
3 $y = 4$ : $k = 0$ , $m = 4$ (horisontell linje)
4 $y = 3x$ : $k = 3$ , $m = 0$ (går genom origo)

Rita en linjär funktion

Metod 1: Sätt $x = 0$ för att hitta en punkt $(0, m)$ , sedan $x = 1$ för $(1, k+m)$ . Dra en rät linje genom punkterna. Metod 2: Använd $m$ för att markera skärningen med y-axeln, använd sedan $k$ för att 'gå' till nästa punkt.

📝 Exempel:

1 $y = 2x + 1$ : börja vid $(0, 1)$ , gå 1 steg höger + 2 steg upp
2Nästa punkt: $(1, 3)$ , sedan $(2, 5)$ , etc.
3 $y = -3x + 6$ : börja vid $(0, 6)$ , gå 1 höger + 3 ner
4Rita linjen genom punkterna

Bestäm funktionsuttryck från graf/punkter

Om du har två punkter $(x_1, y_1)$ och $(x_2, y_2)$ : 1) Beräkna $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ . 2) Sätt in en punkt i $y = kx + m$ och lös ut $m$ . Alternativt: om du kan läsa av där linjen skär y-axeln har du $m$ direkt.

📝 Exempel:

1Punkter $(1, 5)$ och $(3, 11)$ :
2 $k = \frac{11 - 5}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3$
3 $5 = 3 \times 1 + m \Rightarrow m = 2$
4Funktionen: $y = 3x + 2$

Tillämpningar

Linjära funktioner modellerar många verkliga samband: kostnader (fast avgift + rörlig kostnad), temperaturomvandling (°C till °F), avstånd vid konstant hastighet. k-värdet representerar ofta en förändringshastighet eller kostnad per enhet.

📝 Exempel:

1Taxiresa: $y = 15x + 50$ (50 kr startavgift + 15 kr/km)
2Vid $x = 10$ km: $y = 15 \times 10 + 50 = 200$ kr
3Temperatur: $F = 1{,}8C + 32$
4Sträcka vid 80 km/h: $s = 80t$ ( $m = 0$ )

Linjära funktioner

💡 Viktiga punkter

Funktionsuttrycket $y = kx + m$

📝 Exempel:

Rita en linjär funktion

📝 Exempel:

Bestäm funktionsuttryck från graf/punkter

📝 Exempel:

Tillämpningar

📝 Exempel:

Träna på linjära funktioner

Relaterade ämnen