Kvadratiska ekvationer

En kvadratisk ekvation (andragradsekvation) innehåller

x^2

som högsta potens. Standardformen är

ax^2 + bx + c = 0

. Dessa ekvationer kan ha två, en eller inga lösningar beroende på diskriminanten. Det finns flera metoder för att lösa dem: faktorisering, pq-formeln och kvadratkomplettering.

💡 Viktiga punkter

✓Kvadratisk ekvation har

x^2

som högsta potens

✓Normalform:

x^2 + px + q = 0

(används med pq-formeln)

✓pq-formeln:

x = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}

✓Diskriminanten avgör antal lösningar:

>0

två,

=0

en,

<0

inga

✓Faktorisering fungerar bäst när rötterna är enkla tal

Vad är en kvadratisk ekvation?

En kvadratisk ekvation är en ekvation där variabeln $x$ förekommer i andra graden ( $x^2$ ). Den allmänna formen är $ax^2 + bx + c = 0$ , där $a \neq 0$ . Om $a = 1$ skrivs ekvationen $x^2 + px + q = 0$ , vilket är normalformen som används med pq-formeln.

📝 Exempel:

1 $x^2 - 5x + 6 = 0$ (normalform: $a = 1$ )
2 $2x^2 + 3x - 2 = 0$ (allmän form: $a = 2$ )
3 $x^2 - 9 = 0$ (saknar $x$ -term, $b = 0$ )
4 $x^2 + 4x = 0$ (saknar konstant, $c = 0$ )

Faktorisering

Om ekvationen kan faktoriseras till formen $(x - r_1)(x - r_2) = 0$ , är lösningarna $x = r_1$ och $x = r_2$ . Denna metod fungerar bäst när lösningarna är heltal eller enkla bråk. Nollregeln säger att om en produkt är noll måste minst en faktor vara noll.

📝 Exempel:

1 $x^2 - 5x + 6 = 0 \Rightarrow (x - 2)(x - 3) = 0 \Rightarrow x = 2$ eller $x = 3$
2 $x^2 - 9 = 0 \Rightarrow (x - 3)(x + 3) = 0 \Rightarrow x = \pm 3$
3 $x^2 + 4x = 0 \Rightarrow x(x + 4) = 0 \Rightarrow x = 0$ eller $x = -4$
4 $x^2 - 4x - 12 = 0 \Rightarrow (x - 6)(x + 2) = 0 \Rightarrow x = 6$ eller $x = -2$

pq-formeln

För ekvationer på normalformen $x^2 + px + q = 0$ ger pq-formeln lösningarna: $x = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}$ . Uttrycket under rottecknet kallas diskriminanten. Om diskriminanten är positiv finns två lösningar, om den är noll finns en lösning, och om den är negativ finns inga reella lösningar.

📝 Exempel:

1 $x^2 - 6x + 5 = 0$ : $p = -6$ , $q = 5$
2 $x = -\frac{-6}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-6}{2}\right)^2 - 5} = 3 \pm \sqrt{9-5} = 3 \pm 2$
3 $x = 5$ eller $x = 1$
4Kontroll: $5^2 - 6 \cdot 5 + 5 = 25 - 30 + 5 = 0$ ✓

Diskriminanten

Diskriminanten $D = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q$ (eller $D = b^2 - 4ac$ i abc-formeln) avgör antalet lösningar. När $D > 0$ finns två olika lösningar. När $D = 0$ finns exakt en lösning (en dubbelrot). När $D < 0$ finns inga reella lösningar – ekvationen saknar lösning i de reella talen.

📝 Exempel:

1 $x^2 - 4x + 3 = 0$ : $D = 4 - 3 = 1 > 0$ → två lösningar
2 $x^2 - 6x + 9 = 0$ : $D = 9 - 9 = 0$ → en lösning ( $x = 3$ )
3 $x^2 + 2x + 5 = 0$ : $D = 1 - 5 = -4 < 0$ → ingen lösning

Kvadratiska ekvationer

💡 Viktiga punkter

Vad är en kvadratisk ekvation?

📝 Exempel:

Faktorisering

📝 Exempel:

pq-formeln

📝 Exempel:

Diskriminanten

📝 Exempel:

Träna på kvadratiska ekvationer

Relaterade ämnen