Funktioner

En funktion är en regel som kopplar ihop varje indata (

x

-värde) med exakt en utdata (

y

-värde eller funktionsvärde). Funktioner skrivs ofta som

f(x) = ...

där

f

är funktionens namn och

x

är variabeln. Funktioner är centrala i matematik och beskriver samband mellan storheter.

💡 Viktiga punkter

✓En funktion ger exakt ett

y

-värde för varje

x

-värde

✓

f(x) = 2x + 3

betyder: 'ta

x

, multiplicera med 2, addera 3'

✓Definitionsmängd (

D_f

) = tillåtna

x

-värden

✓Värdemängd (

V_f

) = möjliga

y

-värden

✓Linjär funktion:

f(x) = kx + m

(

k

= lutning,

m

= y-intercept)

Vad är en funktion?

En funktion $f$ tar ett värde $x$ och ger tillbaka ett unikt värde $f(x)$ . Det viktiga är att varje $x$ -värde bara kan ge ETT $y$ -värde (men flera $x$ -värden kan ge samma $y$ -värde). Notationen $f(x)$ läses 'f av x' och representerar funktionsvärdet när vi sätter in $x$ .

📝 Exempel:

1 $f(x) = 2x + 3$ : om $x = 4$ , så är $f(4) = 2 \cdot 4 + 3 = 11$
2 $g(x) = x^2$ : om $x = -3$ , så är $g(-3) = (-3)^2 = 9$
3 $h(x) = \frac{1}{x}$ : om $x = 2$ , så är $h(2) = \frac{1}{2} = 0{,}5$
4 $y = x^2 + 1$ är också en funktion ( $y$ istället för $f(x)$ )

Definitionsmängd och värdemängd

Definitionsmängden ( $D_f$ ) är alla $x$ -värden som funktionen är definierad för – alla tillåtna indata. Värdemängden ( $V_f$ ) är alla $y$ -värden som funktionen kan anta – alla möjliga utdata. Vissa funktioner har begränsningar, till exempel kan vi inte dividera med noll.

📝 Exempel:

1 $f(x) = 2x + 3$ : $D_f$ = alla reella tal, $V_f$ = alla reella tal
2 $f(x) = x^2$ : $D_f$ = alla reella tal, $V_f = y \geq 0$ (bara positiva $y$ )
3 $f(x) = \frac{1}{x}$ : $D_f$ = alla $x \neq 0$ (kan inte dividera med 0)
4 $f(x) = \sqrt{x}$ : $D_f = x \geq 0$ (kan inte ta roten ur negativt)

Linjära funktioner

En linjär funktion har formen $f(x) = kx + m$ , där $k$ är lutningen (riktningskoefficienten) och $m$ är y-intercept (där linjen skär y-axeln). Grafen är alltid en rät linje. Om $k > 0$ lutar linjen uppåt, om $k < 0$ lutar den nedåt, och om $k = 0$ är linjen horisontell.

📝 Exempel:

1 $f(x) = 2x + 1$ : $k = 2$ (lutning), $m = 1$ (skär y-axeln vid 1)
2 $f(x) = -x + 3$ : $k = -1$ (lutar nedåt), $m = 3$
3 $f(x) = 4$ : $k = 0$ (horisontell linje vid $y = 4$ )
4Om $k = 2$ : när $x$ ökar med 1 ökar $y$ med 2

Rita funktionsgrafer

För att rita en funktionsgraf skapar du en värdetabell med $x$ -värden och motsvarande $y$ -värden. Markera punkterna i ett koordinatsystem och dra en linje eller kurva genom dem. För linjära funktioner räcker två punkter, för andra funktioner behövs fler.

📝 Exempel:

1 $f(x) = x + 2$ : välj $x = 0 \Rightarrow y = 2$ och $x = 2 \Rightarrow y = 4$
2Rita punkterna $(0, 2)$ och $(2, 4)$ , dra linje
3 $f(x) = x^2$ : välj $x = -2, -1, 0, 1, 2 \Rightarrow y = 4, 1, 0, 1, 4$
4Kurvan blir en parabel med minimum i $(0, 0)$

Funktioner

💡 Viktiga punkter

Vad är en funktion?

📝 Exempel:

Definitionsmängd och värdemängd

📝 Exempel:

Linjära funktioner

📝 Exempel:

Rita funktionsgrafer

📝 Exempel:

Träna på funktioner

Relaterade ämnen