Sannolikhet

Sannolikhet mäter hur troligt det är att något händer. Den anges som ett tal mellan 0 (omöjligt) och 1 (säkert), eller i procent 0%–100%. Om du singlar en slant är sannolikheten för krona

\frac{1}{2} = 0{,}5 = 50\%

. Sannolikhet används inom spel, försäkringar, väder och mycket mer.

💡 Viktiga punkter

✓

P = \frac{\text{gynnsamma utfall}}{\text{möjliga utfall}}

(

0 \leq P \leq 1

)

✓

P = 0

: omöjligt |

P = 1

: säkert

✓Komplement:

P(\text{inte } A) = 1 - P(A)

✓Oberoende händelser:

P(A \text{ och } B) = P(A) \times P(B)

✓Multiplikation vid 'och', addition vid 'eller'

Grundläggande begrepp

Utfallsrum: mängden av alla möjliga utfall. Händelse: ett eller flera utfall vi är intresserade av. Gynnsamma utfall: de utfall som ger den händelse vi söker. Sannolikheten beräknas som antalet gynnsamma utfall delat med totala antalet möjliga utfall.

📝 Exempel:

1Tärning: utfallsrum $= \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$
2Händelse 'jämnt tal': gynnsamma $= \{2, 4, 6\}$
3 $P(\text{jämnt}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 50\%$
4 $P = \frac{\text{gynnsamma utfall}}{\text{möjliga utfall}}$

Klassisk sannolikhet

Formeln $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}$ används när alla utfall är lika sannolika. $n(A)$ är antalet gynnsamma utfall för händelse $A$ . $n(S)$ är totala antalet utfall i utfallsrummet. Sannolikheten är alltid mellan 0 och 1.

📝 Exempel:

1 $P(A) = \frac{\text{antal gynnsamma}}{\text{totalt antal}}$
2Kortlek (52 kort): $P(\text{hjärter}) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$
3Tärning: $P(\text{sexa}) = \frac{1}{6} \approx 16{,}7\%$
4Mynt: $P(\text{krona}) = \frac{1}{2} = 50\%$

Komplementhändelse

Komplementet till en händelse $A$ är 'inte A' och skrivs $\bar{A}$ eller $A'$ . Summan av en händelses sannolikhet och dess komplement är alltid 1: $P(A) + P(\bar{A}) = 1$ . Detta ger $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ , vilket ofta förenklar beräkningar.

📝 Exempel:

1 $P(\text{inte } A) = 1 - P(A)$
2 $P(\text{inte sexa}) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$
3 $P(\text{minst en krona vid 2 kast}) = 1 - P(\text{ingen krona})$
4 $P(\text{ingen krona}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ , så $P(\text{minst en}) = \frac{3}{4}$

Oberoende händelser

Två händelser är oberoende om resultatet av den ena inte påverkar den andra. För oberoende händelser multipliceras sannolikheterna: $P(A \text{ och } B) = P(A) \times P(B)$ . Exempel: kasta tärning två gånger – första kastet påverkar inte andra.

📝 Exempel:

1 $P(A \text{ och } B) = P(A) \times P(B)$ om oberoende
2Två sexor: $P = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$
3Tre kronor i rad: $P = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$
4OBS: Att dra kort UTAN återläggning är INTE oberoende!

Sannolikhet

💡 Viktiga punkter

Grundläggande begrepp

📝 Exempel:

Klassisk sannolikhet

📝 Exempel:

Komplementhändelse

📝 Exempel:

Oberoende händelser

📝 Exempel:

Träna på sannolikhet

Relaterade ämnen