Gy25 • Motsvarar gamla Ma 3b/3c

Matematik – fortsättningNivå 1b / 1c (Gy25)

Denna nivå fördjupar kraven på algebra, funktioner och problemlösning. Proven behöver tydlig progression mot högre resonemang.

👉 Skapa prov i Matematik – fortsättning nivå 1b/1c

Fokus i prov

🔣

Algebraiska metoder

Avancerade ekvationer och olikheter

Funktioner och grafer

Andragradsfunktioner och exponentialfunktioner

Modellering

Matematiska modeller i tillämpningar

Resonemang och metodval

Välja strategi och motivera lösningar

Kursinformation

Nivå 1b

MATO1B00X

100 poäng • Motsvarar gamla Ma 3b

Nivå 1c

MATO1C00X

100 poäng • Motsvarar gamla Ma 3c

Centralt innehåll – Nivå 1b (MATO1B00X)

Aritmetik, algebra och funktioner

Begreppet rationella uttryck. Hantering av rationella uttryck.
Begreppet gränsvärde. Begreppen sekant, tangent, förändringshastighet, ändringskvot och derivata för en funktion. Grafiska och digitala metoder för att derivera funktioner. Villkor för deriverbarhet.
Motivering och hantering av deriveringsregler för potens- och exponentialfunktioner samt summor av dessa. Begreppen talet e och naturlig logaritm.
Begreppet andraderivata. Metoder för att lösa extremvärdesproblem.
Begreppet polynom och egenskaper hos polynomfunktioner. Metoder för att lösa enklare polynomekvationer.
Begreppen bestämd integral och primitiv funktion och sambandet mellan dessa.
Grafiska och digitala metoder för att bestämma integraler.
Motivering och hantering av metoder för att bestämma integraler för potens- och exponentialfunktioner samt summor av dessa.
Formulering och beräkning av integraler i enkla situationer.
Metoder för linjär optimering.
Begreppet geometrisk summa. Metoder för att bestämma geometriska summor.

Centralt innehåll – Nivå 1b (MATO1B00X)

Digitala verktyg

Användning av digitala verktyg, även symbolhanterande, för att effektivisera beräkningar och komplettera metoder, till exempel vid ekvationslösning, derivering, integrering, hantering av algebraiska uttryck och problemlösning.
Användning av programmering som verktyg vid problemlösning, databearbetning eller tillämpning av numeriska metoder.

🧩

Centralt innehåll – Nivå 1b (MATO1B00X)

Problemlösning och tillämpningsområden

Problemlösning med särskild utgångspunkt i utbildningens karaktär och samhällsliv, däribland frågeställningar som berör hållbar utveckling och hur matematik kan användas för kritisk granskning av fakta och påståenden.
Tillämpning och formulering av matematiska modeller i realistiska situationer. Utvärdering av matematiska modellers egenskaper och begränsningar.
Orientering om något ur matematikens historia, till exempel hur ett matematiskt begrepp utvecklats, matematikens roll i något historiskt skeende, en betydande person inom matematiken eller ett historiskt matematiskt problem.

Centralt innehåll – Nivå 1c (MATO1C00X)

Aritmetik, algebra och funktioner

Begreppet absolutbelopp.
Begreppet rationella uttryck. Hantering av rationella uttryck.
Begreppet gränsvärde. Begreppen sekant, tangent, förändringshastighet, ändringskvot och derivata för en funktion. Grafiska och digitala metoder för att derivera funktioner. Villkor för deriverbarhet.
Motivering och hantering av deriveringsregler för potens- och exponentialfunktioner samt summor av dessa. Begreppen talet e och naturlig logaritm.
Begreppet andraderivata. Metoder för att lösa extremvärdesproblem.
Begreppet polynom och egenskaper hos polynomfunktioner. Metoder för att lösa enklare polynomekvationer.
Begreppen bestämd integral och primitiv funktion och sambandet mellan dessa.
Grafiska och digitala metoder för att bestämma integraler.
Motivering och hantering av metoder för att bestämma integraler för potens- och exponentialfunktioner samt summor av dessa.
Formulering och beräkning av integraler i enkla situationer.

Centralt innehåll – Nivå 1c (MATO1C00X)

Trigonometri

Begreppet enhetscirkeln. Definition av trigonometriska begrepp utifrån enhetscirkeln.
Bevis och användning av cosinus-, sinus- och areasatsen.

Centralt innehåll – Nivå 1c (MATO1C00X)

Digitala verktyg

Användning av digitala verktyg, även symbolhanterande, för att effektivisera beräkningar och komplettera metoder, till exempel vid ekvationslösning, derivering, integrering, hantering av algebraiska uttryck och problemlösning.
Användning av programmering som verktyg vid problemlösning, databearbetning eller tillämpning av numeriska metoder.

🧩

Centralt innehåll – Nivå 1c (MATO1C00X)

Problemlösning och tillämpningsområden

Problemlösning med särskild utgångspunkt i utbildningens karaktär och samhällsliv, däribland frågeställningar som berör hållbar utveckling och hur matematik kan användas för kritisk granskning av fakta och påståenden.
Tillämpning och formulering av matematiska modeller i realistiska situationer. Utvärdering av matematiska modellers egenskaper och begränsningar.
Orientering om något ur matematikens historia, till exempel hur ett matematiskt begrepp utvecklats, matematikens roll i något historiskt skeende, en betydande person inom matematiken eller ett historiskt matematiskt problem.

🔎

Matematik – fortsättning nivå 1b/1c enligt Gy25

Derivata, integraler, polynom och trigonometri (1c). Kurser: MATO1B00X och MATO1C00X.

📘 Kapitelstruktur – Matematik fortsättning nivå 1b/1c (Gy25)

16 kapitel enligt centralt innehåll för MATO1B00X och MATO1C00X

Kapitel 1 – Rationella uttryck

1b1c

Aritmetik, algebra och funktioner

Begreppet rationella uttryck: $\frac{x^2 - 4}{x + 2}$
Förenkling av rationella uttryck
Addition och subtraktion: $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$
Multiplikation och division av rationella uttryck
Förkorta genom faktorisering: $\frac{x^2 - 1}{x - 1} = x + 1$

Exempeluppgifter

Uppgift: Förenkla $\frac{x^2 - 9}{x + 3}$

Svar: $= \frac{(x-3)(x+3)}{x+3} = x - 3$ , där $x \neq -3$

Uppgift: Beräkna $\frac{2}{x} + \frac{3}{x+1}$

Svar: $= \frac{2(x+1) + 3x}{x(x+1)} = \frac{5x + 2}{x(x+1)}$

Uppgift: Förenkla $\frac{x^2 - 4}{x^2 + 4x + 4}$

Svar: $= \frac{(x-2)(x+2)}{(x+2)^2} = \frac{x-2}{x+2}$

🔹 Skillnad mellan 1b och 1c

1b: tillämpningar inom ekonomi och samhälle

1c: mer teoretiska och abstrakta uttryck

Kapitel 2 – Gränsvärde och derivata

1b1c

Aritmetik, algebra och funktioner

Begreppet gränsvärde: $\lim_{x \to a} f(x)$
Sekant och tangent till en kurva
Ändringskvot: $\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$
Derivata som gränsvärde: $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$
Förändringshastighet och derivatans tolkning
Villkor för deriverbarhet

Exempeluppgifter

Uppgift: Beräkna $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$

Svar: $= \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4$

Uppgift: Bestäm derivatan av $f(x) = x^2$ med definitionens hjälp

Svar: $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0} (2x + h) = 2x$

Uppgift: Tolka $f'(3) = 5$ för funktionen $f(x)$

Svar: I punkten $x = 3$ ökar $f(x)$ med 5 enheter per enhet i $x$ -led

🔹 Skillnad mellan 1b och 1c

1b: fokus på grafiska metoder och tolkning

1c: mer formella bevis och algebraiska beräkningar

Kapitel 3 – Deriveringsregler

1b1c

Aritmetik, algebra och funktioner

Potensfunktioner: $D(x^n) = nx^{n-1}$
Exponentialfunktioner: $D(e^x) = e^x$ , $D(a^x) = a^x \ln a$
Summa- och differensregeln: $D(f + g) = f' + g'$
Konstantregeln: $D(kf) = kf'$
Talet $e$ och naturliga logaritmen $\ln$
Motivering av deriveringsregler

Exempeluppgifter

Uppgift: Derivera $f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5$

Svar: $f'(x) = 12x^3 - 4x$

Uppgift: Derivera $g(x) = 2e^x + 3x^2$

Svar: $g'(x) = 2e^x + 6x$

Uppgift: Derivera $h(x) = \frac{1}{x^2} = x^{-2}$

Svar: $h'(x) = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$

🔹 Skillnad mellan 1b och 1c

1b: fokus på tillämpning i ekonomi och naturvetenskap

1c: inkluderar motiveringar och härledningar

Kapitel 4 – Andraderivata och extremvärden

1b1c

Aritmetik, algebra och funktioner

Andraderivata: $f''(x)$
Konkavitet och konvexitet
Stationära punkter: $f'(x) = 0$
Max- och minimipunkter med andraderivatatest
Extremvärdesproblem i tillämpningar
Optimering med bivillkor

Exempeluppgifter

Uppgift: Bestäm extrempunkter för $f(x) = x^3 - 3x$

Svar: $f'(x) = 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x = \pm 1$ . $f''(x) = 6x$ : $f''(1) = 6 > 0$ (min), $f''(-1) = -6 < 0$ (max)

Uppgift: En rektangels omkrets är 20 m. Maximera arean.

Svar: Om $2x + 2y = 20 \Rightarrow y = 10-x$ . $A = x(10-x)$ . $A' = 10-2x = 0 \Rightarrow x = 5$ . Max area = 25 m²

Uppgift: Bestäm $f''(x)$ för $f(x) = x^4 - 2x^2$

Svar: $f'(x) = 4x^3 - 4x$ , $f''(x) = 12x^2 - 4$

🔹 Skillnad mellan 1b och 1c

1b: praktiska optimeringsproblem

1c: fler variabler och abstrakta problem

Kapitel 5 – Polynom och polynomekvationer

1b1c

Aritmetik, algebra och funktioner

Begreppet polynom: $p(x) = a_nx^n + \ldots + a_1x + a_0$
Polynomfunktioners egenskaper
Nollställen och faktorsatsen
Polynomdivision
Lösning av polynomekvationer
Grafisk tolkning av polynom

Exempeluppgifter

Uppgift: Faktorisera $p(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ givet att $x = 1$ är ett nollställe

Svar: $p(x) = (x-1)(x^2 - 5x + 6) = (x-1)(x-2)(x-3)$

Uppgift: Lös $x^3 - 4x = 0$

Svar: $x(x^2 - 4) = 0 \Rightarrow x(x-2)(x+2) = 0 \Rightarrow x = 0, 2, -2$

Uppgift: Hur många nollställen kan ett polynom av grad 4 ha som mest?

Svar: Högst 4 reella nollställen

🔹 Skillnad mellan 1b och 1c

1b: fokus på grafisk tolkning

1c: inkluderar polynomdivision och härledningar

Kapitel 6 – Integraler och primitiv funktion

1b1c

Aritmetik, algebra och funktioner

Begreppet primitiv funktion: $F'(x) = f(x)$
Obestämd integral: $\int f(x)\,dx = F(x) + C$
Bestämd integral: $\int_a^b f(x)\,dx$
Sambandet: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$
Grafiska och digitala metoder för integraler
Integraler för potens- och exponentialfunktioner

Exempeluppgifter

Uppgift: Bestäm $\int 3x^2\,dx$

Svar: $= x^3 + C$

Uppgift: Beräkna $\int_0^2 (x^2 + 1)\,dx$

Svar: $= \left[\frac{x^3}{3} + x\right]_0^2 = \frac{8}{3} + 2 = \frac{14}{3}$

Uppgift: Bestäm $\int e^x\,dx$

Svar: $= e^x + C$

🔹 Skillnad mellan 1b och 1c

1b: fokus på beräkning och tillämpning

1c: inkluderar motiveringar av metoder

Kapitel 7 – Integraltillämpningar

1b1c

Aritmetik, algebra och funktioner

Area under kurva
Area mellan kurvor
Formulering av integraler i tillämpningar
Beräkning av integraler för summor
Integral för $x^n$ : $\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$
Integral för $e^{kx}$ : $\int e^{kx}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C$

Exempeluppgifter

Uppgift: Beräkna arean mellan $y = x^2$ och $y = x$ för $0 \leq x \leq 1$

Svar: $A = \int_0^1 (x - x^2)\,dx = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{6}$

Uppgift: Bestäm $\int (2x^3 - 4x + 1)\,dx$

Svar: $= \frac{x^4}{2} - 2x^2 + x + C$

Uppgift: Beräkna $\int_0^1 3e^{2x}\,dx$

Svar: $= \frac{3}{2}\left[e^{2x}\right]_0^1 = \frac{3}{2}(e^2 - 1)$

🔹 Skillnad mellan 1b och 1c

1b: praktiska tillämpningar (ekonomi, fysik)

1c: mer teoretiska problem

Kapitel 8 – Linjär optimering

Aritmetik, algebra och funktioner

Linjära bivillkor och tillåtet område
Målfunktion: $z = ax + by$
Grafisk lösning av optimeringsproblem
Hörnpunktsmetoden
Tolkning av lösningar
Tillämpningar i ekonomi och logistik

Exempeluppgifter

Uppgift: Maximera $z = 3x + 2y$ givet $x + y \leq 4$ , $x \leq 3$ , $y \leq 2$ , $x,y \geq 0$

Svar: Hörnpunkter: $(0,0), (3,0), (3,1), (2,2), (0,2)$ . Max vid $(3,1)$ : $z = 11$

Uppgift: Beskriv det tillåtna området för $x + 2y \leq 6$ , $x \geq 0$ , $y \geq 0$

Svar: Triangeln med hörn i $(0,0)$ , $(6,0)$ och $(0,3)$

Uppgift: En fabrik tillverkar produkter A och B. Maximera vinsten.

Svar: Ställ upp bivillkor från resurser, definiera $z$ = vinst, lös grafiskt

🔹 Skillnad mellan 1b och 1c

1b: praktiska ekonomiska tillämpningar

1c: ingår ej i 1c

Kapitel 9 – Geometrisk summa

Aritmetik, algebra och funktioner

Begreppet geometrisk summa
Formel: $S_n = a \cdot \frac{1 - k^n}{1 - k}$ där $k \neq 1$
Härledning av formeln
Tillämpningar: ränta, avbetalning, tillväxt
Oändlig geometrisk summa: $S = \frac{a}{1-k}$ om $|k| < 1$

Exempeluppgifter

Uppgift: Beräkna $2 + 4 + 8 + 16 + 32$

Svar: Geometrisk summa med $a = 2$ , $k = 2$ , $n = 5$ : $S = 2 \cdot \frac{1 - 2^5}{1-2} = 62$

Uppgift: Du sparar 1000 kr/år i 10 år med 5% ränta. Slutvärde?

Svar: Geometrisk summa: $S = 1000 \cdot \frac{1{,}05^{10} - 1}{0{,}05} \approx 12\,578$ kr

Uppgift: Beräkna $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots$ (oändlig)

Svar: $S = \frac{1}{1 - 0{,}5} = 2$

🔹 Skillnad mellan 1b och 1c

1b: ekonomiska tillämpningar som ränta och amortering

1c: ingår ej i 1c

Kapitel 10 – Absolutbelopp

Aritmetik, algebra och funktioner

Definition: $|x| = x$ om $x \geq 0$ , $|x| = -x$ om $x < 0$
Geometrisk tolkning: avstånd till origo
Ekvationer med absolutbelopp
Olikheter med absolutbelopp
Egenskaper: $|ab| = |a||b|$ , $|a+b| \leq |a| + |b|$

Exempeluppgifter

Uppgift: Lös $|x - 3| = 5$

Svar: $x - 3 = 5$ eller $x - 3 = -5 \Rightarrow x = 8$ eller $x = -2$

Uppgift: Lös $|2x + 1| < 7$

Svar: $-7 < 2x + 1 < 7 \Rightarrow -4 < x < 3$

Uppgift: Förenkla $|x^2 + 1|$

Svar: $= x^2 + 1$ (alltid positiv)

🔹 Skillnad mellan 1b och 1c

1b: ingår ej i 1b

1c: ingår i 1c, grund för gränsvärden

Kapitel 11 – Enhetscirkeln

Trigonometri

Definition av enhetscirkeln: $x^2 + y^2 = 1$
Vinklar i radianer: $\pi$ rad = $180°$
Definition av $\cos v$ och $\sin v$ från enhetscirkeln
Trigonometriska ettan: $\cos^2 v + \sin^2 v = 1$
Värden i standardvinklar: $0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$

Exempeluppgifter

Uppgift: Beräkna $\cos \frac{\pi}{3}$ och $\sin \frac{\pi}{3}$

Svar: $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ , $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Uppgift: Visa att $\cos^2 \frac{\pi}{4} + \sin^2 \frac{\pi}{4} = 1$

Svar: $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$

Uppgift: Omvandla $135°$ till radianer

Svar: $135° = 135 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{3\pi}{4}$ rad

🔹 Skillnad mellan 1b och 1c

1b: ingår ej i 1b

1c: grund för vidare trigonometri

Kapitel 12 – Cosinus-, sinus- och areasatsen

Trigonometri

Cosinussatsen: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$
Sinussatsen: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$
Areasatsen: $A = \frac{1}{2}ab\sin C$
Bevis av satserna
Tillämpningar i trianglar

Exempeluppgifter

Uppgift: I en triangel är $a = 5$ , $b = 7$ , $C = 60°$ . Beräkna $c$ .

Svar: $c^2 = 25 + 49 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos 60° = 74 - 35 = 39 \Rightarrow c = \sqrt{39}$

Uppgift: I en triangel är $a = 10$ , $A = 30°$ , $B = 45°$ . Beräkna $b$ .

Svar: $\frac{b}{\sin 45°} = \frac{10}{\sin 30°} \Rightarrow b = \frac{10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{0{,}5} = 10\sqrt{2}$

Uppgift: Beräkna arean av en triangel med $a = 6$ , $b = 8$ , $C = 30°$

Svar: $A = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin 30° = 24 \cdot 0{,}5 = 12$

🔹 Skillnad mellan 1b och 1c

1b: ingår ej i 1b

1c: inkluderar bevis och härledningar

Kapitel 13 – Digitala verktyg

1b1c

Digitala verktyg

Symbolhanterande verktyg (CAS)
Ekvationslösning med digitala verktyg
Derivering och integrering digitalt
Grafritning och analys
Algebraiska förenklingar

Exempeluppgifter

Uppgift: Använd CAS för att derivera $f(x) = x^3 \sin x$

Svar: CAS ger: $f'(x) = 3x^2 \sin x + x^3 \cos x$

Uppgift: Lös $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ med digitalt verktyg

Svar: Lösningar: $x = \pm 1, \pm 2$

Uppgift: Rita och analysera $f(x) = x^3 - 3x$ digitalt

Svar: Identifiera max/min vid $x = \pm 1$ , inflexionspunkt vid $x = 0$

🔹 Skillnad mellan 1b och 1c

1b: praktisk användning för beräkningar

1c: även för att utforska matematiska samband

Kapitel 14 – Programmering

1b1c

Digitala verktyg

Programmering som problemlösningsverktyg
Numeriska metoder: Newton-Raphson
Databearbetning och analys
Simulering och modellering
Implementera matematiska algoritmer

Exempeluppgifter

Uppgift: Skriv kod för att approximera $\sqrt{2}$ med Newton-Raphson

Svar: Starta med $x_0 = 1$ , iterera $x_{n+1} = \frac{1}{2}(x_n + \frac{2}{x_n})$

Uppgift: Beräkna $\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$ numeriskt

Svar: Använd rektangelmetoden eller Simpsons regel

Uppgift: Simulera 1000 tärningskast och beräkna medelvärdet

Svar: Förväntat medelvärde $\approx 3{,}5$

🔹 Skillnad mellan 1b och 1c

1b: fokus på ekonomiska tillämpningar

1c: mer avancerade numeriska metoder

Kapitel 15 – Problemlösning och modellering

1b1c

Problemlösning och tillämpningsområden

Problemlösning kopplat till samhällsliv
Hållbar utveckling och matematik
Kritisk granskning av fakta med matematik
Matematisk modellering
Utvärdera modellers begränsningar

Exempeluppgifter

Uppgift: Modellera befolkningstillväxt med $P(t) = P_0 e^{kt}$

Svar: Bestäm $k$ från data, prognostisera framtida värden, diskutera begränsningar

Uppgift: Analysera CO₂-utsläpp med exponentiell modell

Svar: Anpassa modell, beräkna fördubblingstid, diskutera hållbarhet

Uppgift: Granska ett påstående om 'statistisk ökning'

Svar: Undersök om procent vs absoluta tal, urvalsfel, etc.

🔹 Skillnad mellan 1b och 1c

1b: ekonomi och samhällsfrågor

1c: naturvetenskapliga tillämpningar

Kapitel 16 – Matematikens historia

1b1c

Problemlösning och tillämpningsområden

Utveckling av matematiska begrepp
Betydande personer: Leibniz, Newton, Euler
Integralens och derivatans historia
Matematikens roll i historiska skeenden
Historiska matematiska problem

Exempeluppgifter

Uppgift: Beskriv hur integralbegreppet utvecklades

Svar: Från Archimedes areaberäkningar till Newton/Leibniz formalisering

Uppgift: Vem upptäckte talet $e$ och hur?

Svar: Euler studerade ränta-på-ränta: $e = \lim_{n \to \infty}(1 + \frac{1}{n})^n$

Uppgift: Vad är Baselproblem och vem löste det?

Svar: Euler visade att $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$

🔹 Skillnad mellan 1b och 1c

1b: fokus på tillämpningshistoria

1c: mer om teoretisk utveckling

Sammanfattning: Vad betyder "fortsättning" i praktiken?

Skillnad mellan grundnivå och fortsättningsnivå

Område	Grund nivå 1	Fortsättning nivå 1b/1c
Derivata	grafisk tolkning	beräkna och tillämpa
Integraler	area under kurva	beräkna och motivera
Polynom	lösa ekvationer	faktorisera och analysera
Trigonometri	rätvinkliga trianglar	enhetscirkel och satser (1c)
Problem	standardmetoder	modellera och utvärdera

Progression från nivå 1

Nivå 1a/1b/1c

Grundläggande

Fortsättning 1b/1c

Du är här

Fortsättning nivå 2

Avancerad

Relaterade nivåer

← Matematik nivå 1a/1b/1c

Grundläggande nivå

Matematik – fortsättning nivå 2 →

Avancerad fördjupning

Skapa prov i Matematik – fortsättning nivå 1b/1c

Prov med tydlig progression och högre resonemangskrav – på några minuter.

👉 Skapa prov nu

Gy25-säkrade prov • Resonemangsuppgifter • PDF + facit

Uppdaterad för Gy25 och skolåret 2026.