Gy25 • Motsvarar gamla Ma 1a/1b/1c

Matematik nivå 1a / 1b / 1cGy25: prov, bedömning & exempel

Den första nivån i gymnasiets matematik lägger grunden för algebra, procent, funktioner och problemlösning. Proven ska vara tydligt programanpassade och följa Gy25.

Skapa prov i Matematik nivå 1a/1b/1c

Gy25 samlar 1a/1b/1c under Matematik nivå 1, men innehållet viktas olika beroende på program. Nedan ser du kapitelstrukturen med tydliga skillnader mellan programmen.

Nivå 1a • MATE1A00X • 100 poäng

Centralt innehåll – Matematik nivå 1a (Gy25)

Officiellt centralt innehåll för yrkesprogram enligt Skolverket

Program- eller yrkesspecifikt innehåll

•Matematiska begrepp relevanta för arbetslivet: proportionalitet, skala, likformighet, vinklar, Pythagoras sats, procent och andelar, indexmått, vinstmarginal, jämvikt, felmarginaler, symmetrier, vektorer, trigonometriska funktioner och barns lärande inom matematik
•Beräkningsmetoder relevanta för arbetslivet: uppskattningar, beräkningar på störningar eller mätfel, spill- och svinnberäkningar, överslagsräkning, avrundning, användning av kalkylprogram och metoder för kontrollberäkning
•Hantering av formler som är relevanta för arbetslivet
•Mätning och hantering av storheter och enheter relevanta för arbetslivet: enhetsbyten, mätning av vinklar, avrundningsprinciper, tidsuppskattningar, beräkning av förbrukningsmaterial, kostnadsberäkningar, säkerhetsmarginaler, hantering av mätverktyg och mätosäkerheter
•Hjälpmedel och verktyg relevanta för att hantera matematik inom arbetslivet: formulär, mallar, tumregler, föreskrifter, manualer, referensverk och handböcker

Aritmetik, algebra och funktioner

•Hantering av formler och algebraiska uttryck, däribland faktorisering och multiplicering av uttryck
•Begreppet funktion. Representationer av funktioner i form av ord, funktionsuttryck, tabeller och grafer
•Digitala metoder för att skapa funktionsgrafer
•Metoder för att bestämma funktionsvärden. Grafiska metoder för att lösa ekvationer av typen f(x) = a
•Begreppet linjär funktion och egenskaper hos linjära funktioner
•Metoder för att lösa linjära ekvationer
•Begreppet exponentialfunktion och egenskaper hos exponentialfunktioner. Skillnader och likheter med linjära funktioner
•Begreppet förändringsfaktor och beräkning av förändringar i flera steg

Sannolikhet och statistik

•Begreppen oberoende och beroende händelse samt komplementhändelse
•Metoder för att beräkna sannolikheter i flera steg
•Tillämpningar inom spel samt risk- och säkerhetsbedömningar
•Exempel på hur några statistiska begrepp används i samhälle och arbetsliv, däribland signifikans, korrelation, kausalitet, urvalsmetoder och felkällor

Digitala verktyg

•Användning av kalkylprogram för beräkning av ränta och amortering
•Användning av digitala verktyg för att effektivisera beräkningar och komplettera metoder, till exempel vid ekvationslösning och problemlösning

Problemlösning och tillämpningsområden

•Problemlösning som omfattar att upptäcka och uttrycka generella samband
•Problemlösning med särskild utgångspunkt i arbetslivet samt privatekonomi och samhällsliv, däribland frågeställningar som berör hållbar utveckling och hur matematik kan användas för kritisk granskning av fakta och påståenden
•Tillämpning och formulering av matematiska modeller i realistiska situationer
•Utvärdering av matematiska modellers egenskaper och begränsningar
•Orientering om något ur matematikens historia, till exempel hur ett matematiskt begrepp utvecklats, matematikens roll i något historiskt skeende, en betydande person inom matematiken eller ett historiskt matematiskt problem

Nivå 1b • MATE1B00X • 100 poäng

Centralt innehåll – Matematik nivå 1b (Gy25)

Officiellt centralt innehåll för ekonomi- och samhällsprogram enligt Skolverket

Aritmetik, algebra och funktioner

•Hantering av formler och algebraiska uttryck, faktorisering och multiplicering
•Begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd
•Representationer av funktioner: ord, funktionsuttryck, tabeller och grafer
•Digitala metoder för att skapa funktionsgrafer
•Metoder för funktionsvärden, digitala och grafiska metoder för f(x) = a
•Linjära funktioner och deras egenskaper, räta linjens ekvation
•Metoder för att lösa linjära ekvationer
•Begreppen intervall och linjär olikhet, metoder för att lösa linjära olikheter
•Exponentialfunktion: egenskaper, skillnader/likheter med linjära funktioner
•Motivering och hantering av räkneregler för potenser
•Metoder för att lösa potensekvationer
•Begreppet potensfunktion
•Förändringsfaktor och beräkning av förändringar i flera steg

Sannolikhet och statistik

•Begreppet index
•Oberoende och beroende händelse, komplementhändelse
•Metoder för att beräkna sannolikheter i flera steg
•Tillämpningar inom spel samt risk- och säkerhetsbedömningar
•Statistiska begrepp i samhälle och vetenskap: signifikans, korrelation, kausalitet, urvalsmetoder, felkällor

Digitala verktyg

•Kalkylprogram för beräkning av ränta och amortering
•Digitala verktyg för att effektivisera beräkningar och komplettera metoder, t.ex. vid ekvationslösning och problemlösning

Problemlösning och tillämpningsområden

•Problemlösning som omfattar att upptäcka och uttrycka generella samband
•Problemlösning med utgångspunkt i utbildningens karaktär, privatekonomi och samhällsliv
•Frågeställningar om hållbar utveckling och kritisk granskning av fakta och påståenden
•Tillämpning och formulering av matematiska modeller i realistiska situationer
•Utvärdering av matematiska modellers egenskaper och begränsningar
•Orientering om matematikens historia: begrepp, historiska skeenden, betydande personer, problem

Nivå 1c • MATE1C00X • 100 poäng

Centralt innehåll – Matematik nivå 1c (Gy25)

Officiellt centralt innehåll för naturvetenskapliga och tekniska program enligt Skolverket

Aritmetik, algebra och funktioner

•Hantering av formler och algebraiska uttryck, däribland faktorisering och multiplicering av uttryck
•Begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd. Representationer av funktioner i form av ord, funktionsuttryck, tabeller och grafer
•Digitala metoder för att skapa funktionsgrafer
•Metoder för att bestämma funktionsvärden. Digitala och grafiska metoder för att lösa ekvationer av typen f(x) = a
•Begreppet linjär funktion och egenskaper hos linjära funktioner. Räta linjens ekvation. Metoder för att bestämma linjära funktioner
•Metoder för att lösa linjära ekvationer
•Begreppen intervall och linjär olikhet. Metoder för att lösa linjära olikheter
•Begreppet exponentialfunktion och egenskaper hos exponentialfunktioner. Skillnader och likheter med linjära funktioner
•Motivering och hantering av räkneregler för potenser. Metoder för att lösa potensekvationer
•Begreppet potensfunktion
•Begreppet förändringsfaktor och beräkning av förändringar i flera steg

Trigonometri och vektorer

•Begreppen sinus, cosinus och tangens. Begreppet invers funktion i samband med arcusfunktioner
•Metoder för att beräkna sträckor och vinklar i koordinatsystem och i rätvinkliga trianglar
•Begreppet vektor. Representationer av vektorer i koordinatsystem och skrivna i koordinatform
•Metoder för beräkningar med vektorer, däribland addition, subtraktion, beräkning av absolutbelopp och multiplikation med skalär

Sannolikhet och statistik

•Begreppen oberoende och beroende händelse samt komplementhändelse
•Metoder för att beräkna sannolikheter i flera steg
•Tillämpningar inom spel samt risk- och säkerhetsbedömningar
•Exempel på hur några statistiska begrepp används i samhälle och inom vetenskap, däribland signifikans, korrelation, kausalitet, urvalsmetoder och felkällor

Digitala verktyg

•Användning av kalkylprogram för beräkning av ränta och amortering
•Användning av digitala verktyg för att effektivisera beräkningar och komplettera metoder, till exempel vid ekvationslösning och problemlösning
•Exempel på hur programmering kan användas som verktyg vid problemlösning, databearbetning eller tillämpning av numeriska metoder

Problemlösning och tillämpningsområden

•Problemlösning som omfattar att upptäcka och uttrycka generella samband
•Problemlösning med särskild utgångspunkt i utbildningens karaktär, privatekonomi och samhällsliv, däribland frågeställningar som berör hållbar utveckling och hur matematik kan användas för kritisk granskning av fakta och påståenden
•Tillämpning och formulering av matematiska modeller i realistiska situationer
•Utvärdering av matematiska modellers egenskaper och begränsningar
•Orientering om något ur matematikens historia, till exempel hur ett matematiskt begrepp utvecklats, matematikens roll i något historiskt skeende, en betydande person inom matematiken eller ett historiskt matematiskt problem

Kapitelstruktur – Matematik nivå 1 (Gy25)

Kapitel enligt centralt innehåll för 1a, 1b och 1c

Ingår i:1a (Yrkesprogram)1b (Ekonomi/samhälle)1c (Natur/teknik)

Kapitel 1 – Algebra och uttryck

Gemensamt för 1a / 1b / 1c

1a1b1c

Hantering av formler och algebraiska uttryck
Faktorisering av uttryck: $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$
Multiplicering av uttryck: $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$
Konjugatregeln och kvadreringsreglerna
Förenkling: $3 x + 5 x - 2 x = 6 x$
Värde av uttryck: om $x = 3$ , då är $2 x^{2} - 1 = 17$

Exempeluppgifter

Uppgift: Faktorisera $x^{2} + 5 x + 6$

Svar: $= (x + 2) (x + 3)$

Uppgift: Utveckla $(2 x - 3)^{2}$

Svar: $= 4 x^{2} - 12 x + 9$

Uppgift: Förenkla $4 (x + 2) - 2 (x - 1)$

Svar: $= 4 x + 8 - 2 x + 2 = 2 x + 10$

Kapitel 2 – Funktionsbegreppet

Gemensamt för 1a / 1b / 1c (utökat i 1b/1c)

1a1b1c

Begreppet funktion: input → regel → output
Representationer: ord, funktionsuttryck, tabeller, grafer
Digitala metoder för funktionsgrafer
Bestämma funktionsvärden: $f (3)$ för $f (x) = 2 x + 1$
Grafisk lösning av $f (x) = a$
Definitionsmängd och värdemängd (1b/1c)
Notation: $D_{f}$ och $V_{f}$ (1b/1c)

Exempeluppgifter

Uppgift: Om $f (x) = x^{2} - 4$ , beräkna $f (3)$

Svar: $f (3) = 3^{2} - 4 = 9 - 4 = 5$

Uppgift: Lös grafiskt $2 x + 1 = 5$

Svar: Skär $y = 2 x + 1$ och $y = 5$ → $x = 2$

Uppgift: Ange $D_{f}$ för $f (x) = x - 2$

Svar: $D_{f} = [2, \infty)$ (1b/1c)

Skillnad mellan kurserna

1a: fokus på att tolka och använda funktioner

1b/1c: inkluderar definitionsmängd och värdemängd

Kapitel 3 – Linjära funktioner och ekvationer

Gemensamt för 1a / 1b / 1c (utökat i 1b/1c)

1a1b1c

Linjär funktion: $f (x) = k x + m$
Lutning $k$ och $y$ -skärning $m$
Räta linjens ekvation (1b/1c)
Metoder för att bestämma linjära funktioner (1b/1c)
Linjära ekvationer: $3 x - 7 = 14$
Ekvationer med $x$ på båda sidor: $5 x + 2 = 2 x + 14$

Exempeluppgifter

Uppgift: Bestäm $k$ och $m$ för linjen genom $(0, 3)$ och $(2, 7)$

Svar: $k = \frac{7 - 3}{2 - 0} = 2$ , $m = 3$ → $y = 2 x + 3$

Uppgift: Lös $4 x - 5 = 2 x + 9$

Svar: $2 x = 14 \Rightarrow x = 7$

Uppgift: En linje går genom $(1, 4)$ med $k = 3$ . Skriv ekvationen.

Svar: $y - 4 = 3 (x - 1) \Rightarrow y = 3 x + 1$

Skillnad mellan kurserna

1a: grundläggande linjära samband

1b/1c: räta linjens ekvation, metoder för att bestämma linjära funktioner

Kapitel 4 – Intervall och linjära olikheter

Endast 1b och 1c

1b1c

Begreppet intervall: $[a, b]$ , $(a, b)$ , $[a, b)$
Oändliga intervall: $(- \infty, 5]$ , $[3, \infty)$
Linjära olikheter: $2 x - 3 > 5$
Omvänd olikhetstecken vid multiplikation/division med negativt tal
Lösning av olikheter algebraiskt och grafiskt
Grafisk representation av lösningar på tallinjen

Exempeluppgifter

Uppgift: Lös $3 x - 6 \leq 9$

Svar: $3 x \leq 15 \Rightarrow x \leq 5$ , svar: $(- \infty, 5]$

Uppgift: Lös $- 2 x + 4 > 10$

Svar: $- 2 x > 6 \Rightarrow x < - 3$ , svar: $(- \infty, - 3)$

Uppgift: Skriv ${x : 2 \leq x < 7}$ som intervall

Svar: $[2, 7)$

Kapitel 5 – Exponentialfunktioner och förändringsfaktor

Gemensamt för 1a / 1b / 1c

1a1b1c

Begreppet exponentialfunktion: $f (x) = C \cdot a^{x}$
Egenskaper: tillväxt ( $a > 1$ ) och avtagande ( $0 < a < 1$ )
Skillnader och likheter med linjära funktioner
Förändringsfaktor: $20%$ ökning → faktor $1, 20$
Beräkning av förändringar i flera steg: $K \cdot a^{n}$
Ränta på ränta: $K \cdot (1 + r)^{t}$

Exempeluppgifter

Uppgift: En population ökar med $5%$ per år. Skriv formeln.

Svar: $P (t) = P_{0} \cdot 1, 0 5^{t}$

Uppgift: 1000 kr med $3%$ ränta i 5 år?

Svar: $1000 \cdot 1, 0 3^{5} \approx 1159, 27$ kr

Uppgift: Ett värde minskar $10%$ per år. Efter 3 år?

Svar: Faktor: $0, 9 0^{3} = 0, 729$ → $72, 9%$ kvar

Kapitel 6 – Potenser och potensekvationer

Endast 1b och 1c

1b1c

Räkneregler för potenser: $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$
Division: $\frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}$
Potens av potens: $(a^{m})^{n} = a^{mn}$
Negativa exponenter: $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$
Potensekvationer: $2^{x} = 8 \Rightarrow x = 3$
Begreppet potensfunktion: $f (x) = x^{n}$

Exempeluppgifter

Uppgift: Förenkla $\frac{x ^{5} \cdot x ^{3}}{x ^{2}}$

Svar: $= x^{5 + 3 - 2} = x^{6}$

Uppgift: Lös $3^{x} = 81$

Svar: $3^{x} = 3^{4} \Rightarrow x = 4$

Uppgift: Skriv om $\frac{1}{x ^{4}}$ med negativ exponent

Svar: $= x^{- 4}$

Kapitel 7 – Trigonometri och vektorer

Endast 1c

Begreppen sinus, cosinus och tangens
Definitioner i rätvinklig triangel: $sin v = \frac{motst a ˚ ende}{hypotenusa}$
Arcusfunktioner (inversa): $arcsin$ , $arccos$ , $arctan$
Beräkning av sträckor och vinklar i rätvinkliga trianglar
Begreppet vektor: riktning och storlek
Vektorer i koordinatform: $v = (a, b)$
Vektoroperationer: addition, subtraktion, absolutbelopp, skalärmultiplikation

Exempeluppgifter

Uppgift: I en rätvinklig triangel är motstående katet 3 och hypotenusan 5. Beräkna vinkeln.

Svar: $sin v = \frac{3}{5} = 0, 6 \Rightarrow v = arcsin (0, 6) \approx 36, 9°$

Uppgift: Beräkna $∣ v ∣$ om $v = (3, 4)$

Svar: $∣ v ∣ = 3^{2} + 4^{2} = 25 = 5$

Uppgift: Beräkna $u + v$ där $u = (2, 3)$ och $v = (1, - 1)$

Svar: $u + v = (2 + 1, 3 + (- 1)) = (3, 2)$

Kapitel 8 – Sannolikhet och statistik

Gemensamt för 1a / 1b / 1c (index endast i 1b)

1a1b1c

Oberoende och beroende händelser
Komplementhändelse: $P (A^{'}) = 1 - P (A)$
Sannolikheter i flera steg (multiplikation)
Tillämpningar: spel, risk- och säkerhetsbedömningar
Begreppet index (endast 1b)
Statistiska begrepp: signifikans, korrelation, kausalitet
Urvalsmetoder och felkällor

Exempeluppgifter

Uppgift: Du kastar två tärningar. $P$ (summa 7)?

Svar: 6 gynnsamma av 36 → $P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$

Uppgift: Om $P (A) = 0, 3$ , vad är $P (A^{'})$ ?

Svar: $P (A^{'}) = 1 - 0, 3 = 0, 7$

Uppgift: KPI år 1: 100, år 2: 105. Beräkna inflationen.

Svar: $\frac{105 - 100}{100} = 5%$ (1b)

Skillnad mellan kurserna

1a: samhälle och arbetsliv

1b: inkluderar begreppet index

1c: samhälle och inom vetenskap

Kapitel 9 – Digitala verktyg

Gemensamt för 1a / 1b / 1c (programmering endast i 1c)

1a1b1c

Kalkylprogram för ränta och amortering
Digitala verktyg för ekvationslösning
Grafritande verktyg (GeoGebra, Desmos)
Effektivisera beräkningar digitalt
Programmering vid problemlösning (endast 1c)
Databearbetning med kod (endast 1c)
Numeriska metoder (endast 1c)

Exempeluppgifter

Uppgift: Skapa amorteringsschema i kalkylprogram

Svar: Kolumner: månad, skuld, ränta, amortering, ny skuld

Uppgift: Rita $f (x) = x^{2} - 4$ i GeoGebra

Svar: Skriv: f(x) = x^2 - 4 → graf visas

Uppgift: Python: Beräkna $\sum_{i = 1}^{100} i$

Svar: sum(range(1, 101)) = 5050 (1c)

Skillnad mellan kurserna

1a/1b: kalkylprogram och grafverktyg

1c: inkluderar programmering och numeriska metoder

Kapitel 10 – Yrkesmatematik

Endast 1a

Matematiska begrepp i arbetslivet: proportionalitet, skala, likformighet
Pythagoras sats: $a^{2} + b^{2} = c^{2}$
Procent, andelar, vinstmarginal, indexmått
Vinklar, symmetrier, vektorer, trigonometriska funktioner
Mätning av storheter och enheter, enhetsbyten
Mätosäkerhet, säkerhetsmarginaler, felmarginaler
Hjälpmedel: formulär, mallar, tumregler, manualer
Barns lärande inom matematik

Exempeluppgifter

Uppgift: En stege är 5 m och lutar mot en vägg 4 m upp. Hur långt från väggen står den?

Svar: $d = 5^{2} - 4^{2} = 9 = 3$ m

Uppgift: Skala 1:50. En ritning är 8 cm. Verkligheten?

Svar: $8 \cdot 50 = 400$ cm $= 4$ m

Uppgift: Inköpspris 200 kr, försäljning 250 kr. Vinstmarginal?

Svar: $\frac{250 - 200}{250} = 20%$

Kapitel 11 – Problemlösning och tillämpningar

Integrerat kapitel – genomgående i alla kurser

1a1b1c

Upptäcka och uttrycka generella samband
Tillämpning av matematiska modeller i realistiska situationer
Formulering av egna matematiska modeller
Utvärdering av modellers egenskaper och begränsningar
Hållbar utveckling och kritisk granskning av fakta
Matematikens historia: begrepp, personer, problem

Fokusområde per kurs

1a – Arbetslivet

Praktiska problem från yrken, materialberäkningar, vardagsekonomi

1b – Utbildningens karaktär

Ekonomiska modeller, samhällsfrågor, statistisk analys

1c – Utbildningens karaktär

Naturvetenskapliga tillämpningar, abstraktion, generalisering

Jämförelse: Vad ingår i vilken kurs?

Innehåll	1a	1b	1c
Algebra och uttryck
Funktionsbegreppet (grund)
Definitionsmängd & värdemängd	—
Linjära funktioner & ekvationer
Räta linjens ekvation	—
Intervall & linjära olikheter	—
Exponentialfunktioner
Potensregler & potensekvationer	—
Potensfunktion	—
Trigonometri (sin, cos, tan)	—	—
Vektorer	—	—
Sannolikhet & statistik
Begreppet index	—		—
Programmering	—	—
Yrkesspecifik matematik		—	—